Matematika - Limit - Limit di Tak Hingga

 

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Limit di tak hingga merupakan kajian yang tepat untuk mengetahui kecendrungan suatu fungsi jika nilai variabelnya dibuat semakin besar. Kita katakan, x menuju tak hingga, ditulis x → ∞, artinya nilai x semakin besar atau bertambah besar tanpa batas.

Diberikan sebuah fungsi f(x) = 1/x². Apa yang terjadi dengan fungsi f(x), jika nilai x semakin besar ? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita amati nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x berikut.

x = 1       → f(x) = 1
x = 10     → f(x) = 0,01
x = 100   → f(x) = 0,0001
x = 1000 → f(x) = 0,000001
...
Dari data diatas dapat kita lihat bahwa nilai f(x) semakin mendekati 0, ketika x semakin besar. Sekarang coba perhatikan grafik fungsinya.

Jelas terlihat bahwa kurva y = 1/x² semakin mendekati garis y = 0, ketika x semakin besar. Faktanya, seberapa besarpun x yang kita ambil, nilai 1/x² akan semakin dekat ke 0.

Secara intuitif kita simpulkan, jika x semakin besar tanpa batas, nilai 1/x² semakin dekat ke 0. Dalam notasi limit, pernyataan ini ditulis$$\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{x^2}=0$$
Sekarang coba kita amati nilai fungsi f(x) = 1/x² untuk nilai-nilai x berikut.
x = -1       → f(x) = 1
x = -10     → f(x) = 0,01
x = -100   → f(x) = 0,0001
x = -1000 → f(x) = 0,000001

Dari data diatas dapat kita lihat bahwa f(x) = 1/x² juga semakin dekat ke 0, ketika x semakin kecil (negatif besar). Kita tulis$$\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1}{x^2}=0$$

Nilai fungsi f(x) tidak selalu mendekati bilangan tertentu, ketika x semakin besar. Bisa saja nilai f(x) justru semakin besar dan terus bertambah besar tanpa batas. Untuk kasus seperti ini, kita tulis$$\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)=\infty$$artinya jika nilai x semakin besar tanpa batas, maka nilai f(x) juga semakin besar tanpa batas. Limit seperti ini disebut limit tak hingga di tak hingga.


 Contoh 1
Tentukan  $\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}{x}^2\end{array}$

Jawab :
Misalkan f(x) = x²
x = 1       →  f(x) = 1
x = 10     →  f(x) = 100
x = 100   →  f(x) = 10000
...
Seperti yang kita lihat, ketika x semakin besar, nilai x² juga semakin besar, namun tidak mendekati suatu bilangan unik tertentu, melainkan terus bertambah besar tanpa batas. Kita simpulkan $\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}{x}^2=\infty \end{array}$


Perlu diketahui, teorema limit dasar masih bisa kita terapkan pada limit di tak hingga. Namun, untuk kasus-kasus yang melibatkan bentuk tak tentu, seperti (∞ - ∞), (∞/∞) atau (0.∞), perlu dilakukan manipulasi aljabar terlebih dahulu.


 Sifat A   Jika n > 0 dan n bilangan rasional, maka

1.   $\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{x^n}=0\end{array}$
    
2.  $\begin{array}{c}\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1}{x^n}=0,\end{array}$ xⁿ terdefinisi untuk x < 0

 Contoh 2
Hitung  $\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\left(x^3-7x^2\right)\end{array}$

Jawab :
Faktorkan suku pangkat tertinggi dari polinom tersebut, kemudian hitung limit dari masing-masing faktor dengan berpedoman pada sifat A.

$\begin{array}{cc}\underset{x\to \infty }{lim}\left(x^3-7x^2\right)& =\underset{x\to \infty }{lim}{x}^3\left(1-\frac{7}{x}\right)\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}{x}^3\cdot \underset{x\to \infty }{lim}\left(1-\frac{7}{x}\right)\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}{x}^3\cdot \left(1-0\right)\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}{x}^3\\ & =\infty \end{array}$



 Contoh 3
Tentukan  $\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x^3-4x}{3x^3+x^2}\end{array}$

Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x³, kemudian hitung limit dari masing-masing suku dengan berpedoman pada sifat A.

$\begin{array}{cc}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x^3-4x}{3x^3+x^2}& =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\frac{x^3-4x}{x^3}}{\frac{3x^3+x^2}{x^3}}\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1-\frac{4}{x^2}}{3+\frac{1}{x}}\\ & =\frac{1-0}{3+0}\\ & =\frac{1}{3}\end{array}$



 Contoh 4
Hitung  $\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x^3-x}{x^4-2x^2+1}\end{array}$

Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x⁴, kemudian hitung limitnya.

$\begin{array}{cc}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x^3-x}{x^4-2x^2+1}& =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\frac{x^3-x}{x^4}}{\frac{x^4-2x^2+1}{x^4}}\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}}{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^4}}\\ & =\frac{0-0}{1-0+0}\\ & =0\end{array}$



 Contoh 5
Tentukan  $\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x-x^3}{x^2-4}\end{array}$

Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x², kemudian hitung limitnya.

$\begin{array}{cc}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x-x^3}{x^2-4}& =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\frac{x-x^3}{x^2}}{\frac{x^2-4}{x^2}}\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\frac{1}{x}-x}{1-\frac{4}{x^2}}\\ & =\frac{{}_{x\to \infty }^{lim}\frac{1}{x}-{}_{x\to \infty }^{lim}x}{{}_{x\to \infty }^{lim}1-{}_{x\to \infty }^{lim}\frac{4}{x^2}}\\ & =\frac{0-{}_{x\to \infty }^{lim}x}{1-0}\\ & =-\underset{x\to \infty }{lim}x\\ & =-\infty \end{array}$



 Contoh 6
Untuk n bilangan asli dan a₀ ≠ 0, tunjukkan bahwa
$\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\left(a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n\right)=\underset{x\to \infty }{lim}{a}_0{x}^n\end{array}$

Jawab :
Faktorkan suku pangkat tertinggi dari fungsi polinom tersebut,  kemudian hitung limitnya.

$\begin{array}{cc}& \underset{x\to \infty }{lim}\left(a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n\right)\\ \iff & \underset{x\to \infty }{lim}{a}_0{x}^n\left(1+\frac{a_1}{a_{0}x}+...+\frac{a_{n-1}}{a_0{x}^{n-1}}+\frac{a_n}{a_0{x}^n}\right)\\ \iff & \underset{x\to \infty }{lim}{a}_0{x}^n\cdot \underset{x\to \infty }{lim}\left(1+\frac{a_1}{a_{0}x}+...+\frac{a_{n-1}}{a_0{x}^{n-1}}+\frac{a_n}{a_0{x}^n}\right)\\ \iff & \underset{x\to \infty }{lim}{a}_0{x}^n\cdot (1+0+...+0+0)\\ \iff & \underset{x\to \infty }{lim}{a}_0{x}^n\end{array}$



 Sifat B   Jika p(x) dan q(x) adalah fungsi polinom dengan ax^m dan bxⁿ berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari p(x) dan q(x), maka

     1.  $\begin{array}{c}\underset{x\to \pm \infty }{lim}p\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{lim}a{x}^m\end{array}$

     2.  $\begin{array}{c}\underset{x\to \pm \infty }{lim}q\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{lim}b{x}^n\end{array}$

     3.  $\begin{array}{c}\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{a{x}^m}{b{x}^n}\end{array}$

Sifat diatas mengatakan bahwa nilai limit di tak hingga fungsi polinom ataupun rasional sama dengan nilai limit dari suku pangkat tertingginya. Dengan menggunakan sifat diatas, contoh 2 - 5 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut.

$\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\left(x^3-7x^2\right)=\underset{x\to \infty }{lim}{x}^3=\infty \end{array}$

$\begin{array}{cc}& \underset{x\to \infty }{lim}\frac{x^3-4x}{3x^3-x^2}=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x^3}{3x^3}=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \underset{x\to \infty }{lim}\frac{x^3-x}{x^4-2x^2+1}=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x^3}{x^4}=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{x}=0\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \underset{x\to \infty }{lim}\frac{x-x^3}{x^2-4}=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{-x^3}{x^2}=\underset{x\to \infty }{lim}(-x)=-\infty \end{array}$


Berdasarkan pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya, sifat B.3 dapat kita jabarkan lagi menjadi sebagai berikut.

 Sifat C   Misalkan p(x) dan q(x) adalah fungsi polinom dengan ax^m dan bxⁿ berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari p(x) dan q(x).

1. Jika m = n maka
$\begin{array}{c}\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\frac{a}{b}\end{array}$ 
2. Jika m < n maka
$\begin{array}{c}\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=0\end{array}$
3. Jika m > n maka
$\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\{\begin{array}{c}-\infty ,\frac{a}{b}>0\\ -\infty ,\frac{a}{b}<0\end{array}\end{array}$

Sifat diatas dapat kita terjemahkan dalam tiga poin berikut.

1. Jika pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut.
2. Jika pangkat tertinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = 0.
3. Jika pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = ∞ (asalkan perbandingan koefisiennya positif) atau -∞ (asalkan perbandingan koefisiennya negatif)

Dengan menggunakan sifat C, contoh 2, 3 dan 4 dapat diselesaikan cukup dengan memperhatikan suku pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut, dalam hal ini adalah pangkat dan koefisiennya.

$\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x^3-4x}{3x^3-x^2}=\frac{1}{3}\end{array}$

Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut. Berdasarkan sifat C.1, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut, yaitu 1/3.

$\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x^3-x}{x^4-2x^2+1}=0\end{array}$

Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut. Berdasarkan sifat C.2, nilai limitnya = 0.

$\begin{array}{c}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x-x^3}{x^2-4}=-\infty \end{array}$

Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut dan perbandingan koefisiennya negatif. Berdasarkan sifat C.3, nilai limitnya = -∞.


Penyelesaian limit di tak hingga fungsi irasional (memuat fungsi irasional) hampir sama saja dengan fungsi polinom atau rasional. Sifat-sifat diatas masih dapat kita gunakan. Yang perlu kita cermati adalah saat bekerja dengan limit untuk x → -∞.

Perlu kita ingat !
Jika $x>0$ maka $\sqrt{x^2}=x$
Jika $x<0$ maka $\sqrt{x^2}=-x$

Secara umum, dapat dinyatakan sebagai berikut !
1.  Untuk n > 0 dan n ganjil maka
      $\begin{array}{c}\sqrt{x^{2n}}=\{\begin{array}{c}-x^n,x>0\\ -x^n,x<0\end{array}\end{array}$

2.  Untuk n > 0 dan n genap maka
      $\begin{array}{c}\sqrt{x^{2n}}=x^n,x\in R\end{array}$


 Contoh 7 
Hitung limit berikut !
$\begin{array}{cc}& a.\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{4x^2+3x}}{2x-1}\\ & b.\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{4x^2+3x}}{2x-1}\end{array}$

Jawab :
Untuk $\begin{array}{c}x\to \infty \end{array}$ maka $\begin{array}{c}\sqrt{x^2}=x\end{array}$
Untuk $\begin{array}{c}x\to -\infty \end{array}$ maka $\begin{array}{c}\sqrt{x^2}=-x\end{array}$

$\begin{array}{cc}a.\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{4x^2+3x}}{2x-1}& =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2\left(4+\frac{3}{x}\right)}}{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{x\sqrt{4+\frac{3}{x}}}{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{4+\frac{3}{x}}}{\left(2-\frac{1}{x}\right)}\\ & =\frac{\sqrt{4+0}}{2-0}\\ & =1\end{array}$

$\begin{array}{cc}b.\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{4x^2+3x}}{2x-1}& =\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2\left(4+\frac{3}{x}\right)}}{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}\\ & =\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{-x\sqrt{4+\frac{3}{x}}}{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}\\ & =\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{-\sqrt{4+\frac{3}{x}}}{\left(2-\frac{1}{x}\right)}\\ & =\frac{-\sqrt{4+0}}{2-0}\\ & =-1\end{array}$

Contoh diatas dapat pula diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x. Dengan catatan, untuk limit x→-∞, nilai $x=-\sqrt{x^2}$.


 Contoh 8 
Hitung limit berikut !
$\begin{array}{cc}& a.\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\sqrt{x^2-2x}-4x\right)\\ & b.\underset{x\to \infty }{lim}\left(2x-\sqrt{4x^2+x}\right)\end{array}$

Jawab :
Jangan terburu-buru mengalikan bentuk diatas dengan akar sekawannya. Lakukan analisa sederhana untuk memeriksa apakah limit tersebut merupakan bentuk tak tentu.

Analisa opsi a !
Jika $x\to -\infty$, maka $\sqrt{x^2-2x}\to \infty$ dan $4x\to -\infty$.
Akibatnya, $(\sqrt{x^2-2x}-4x)\to \infty -(-\infty )=\infty$

Analisa opsi b !
Jika $x\to \infty$ maka $2x\to \infty$ dan $\sqrt{4x^2+x}\to \infty$.
Akibatnya, $(2x-\sqrt{4x^2+x})\to \infty -\infty$  (tak tentu)

$\begin{array}{cc}& a.\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\sqrt{x^2-2x}-4x\right)=\infty \end{array}$


$\begin{array}{cc}b.& \underset{x\to \infty }{lim}\left(2x-\sqrt{4x^2+x}\right)\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\left(2x-\sqrt{4x^2+x}\right)\cdot \frac{2x+\sqrt{4x^2+x}}{2x+\sqrt{4x^2+x}}\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{4x^2-(4x^2+x)}{2x+\sqrt{4x^2+x}}\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{-x}{2x+\sqrt{x^2\left(4+\frac{1}{x}\right)}}\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{-x}{2x+x\sqrt{4+\frac{1}{x}}}\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\frac{-1}{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}}\\ & =\frac{-1}{2+\sqrt{4+0}}\\ & =-\frac{1}{4}\end{array}$


 Contoh 9 
Jika a = p dan a, p ≠ 0 tunjukkan bahwa
$\begin{array}{cc}& a.\underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt{a{x}^2+bx+c}-\sqrt{p{x}^2+qx+r}\right)=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ & b.\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\sqrt{a{x}^2+bx+c}-\sqrt{p{x}^2+qx+r}\right)=\frac{b-q}{-2\sqrt{a}}\end{array}$

Jawab :
$\begin{array}{c}a.\underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt{a{x}^2+bx+c}-\sqrt{p{x}^2+qx+r}\right)\end{array}$

Untuk a = p bentuk diatas dapat ditulis menjadi
$\begin{array}{c}\iff \underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt{a{x}^2+bx+c}-\sqrt{a{x}^2+qx+r}\right)\end{array}$

Kalikan dengan akar sekawannya lalu sederhanakan sehingga diperoleh
$\begin{array}{cc}& \iff \underset{x\to \infty }{lim}\frac{\left(a{x}^2+bx+c\right)-\left(a{x}^2+qx+r\right)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}+\sqrt{a{x}^2+qx+r}}\\ & \iff \underset{x\to \infty }{lim}\frac{(b-q)x+c-r}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}+\sqrt{a{x}^2+qx+r}}\\ & \iff \underset{x\to \infty }{lim}\frac{x\left(b-q+\frac{c-r}{x}\right)}{\sqrt{x^2\left(a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}\right)}+\sqrt{x^2\left(a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^2}\right)}}\\ & \iff \underset{x\to \infty }{lim}\frac{x\left(b-q+\frac{c-r}{x}\right)}{x\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}+x\sqrt{a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^2}}}\\ & \iff \underset{x\to \infty }{lim}\frac{b-q+\frac{c-r}{x}}{\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}+\sqrt{a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^2}}}\\ & \iff \frac{b-q+0}{\sqrt{a+0+0}+\sqrt{a+0+0}}\\ & \iff \frac{b-q}{2\sqrt{a}}\end{array}$


$\begin{array}{c}b.\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\sqrt{a{x}^2+bx+c}-\sqrt{p{x}^2+qx+r}\right)\end{array}$

Untuk a = p bentuk diatas dapat ditulis menjadi
$\begin{array}{c}\iff \underset{x\to -\infty }{lim}\left(\sqrt{a{x}^2+bx+c}-\sqrt{a{x}^2+qx+r}\right)\end{array}$

Kalikan dengan akar sekawannya, sederhanakan hingga diperoleh hasil sebagai berikut
$\begin{array}{cc}& \iff \underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x\left(b-q+\frac{c-r}{x}\right)}{\sqrt{x^2\left(a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}\right)}+\sqrt{x^2\left(a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^2}\right)}}\end{array}$

Perlu kita ingat bahwa untuk x → -∞ maka $\begin{array}{c}\sqrt{x^2}=-x\end{array}$. Akibatnya, bentuk diatas menjadi
$\begin{array}{cc}& \iff \underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x\left(b-q+\frac{c-r}{x}\right)}{-x\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}-x\sqrt{a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^2}}}\\ & \iff \underset{x\to -\infty }{lim}\frac{b-q+\frac{c-r}{x}}{-\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}-\sqrt{a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^2}}}\\ & \iff \frac{b-q+0}{-\sqrt{a+0+0}-\sqrt{a+0+0}}\\ & \iff \frac{b-q}{-2\sqrt{a}}\end{array}$


 Contoh 10 
Hitung limit berikut dengan menggunakan sifat pada contoh 9 !
$\begin{array}{cc}& a.\underset{x\to \infty }{lim}\left(2x-1-\sqrt{4x^2-2x+1}\right)\\ & b.\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\sqrt{x^2-4x}+x+2\right)\end{array}$

Jawab :
Alternatif penyelesaian : hitung limit dari suku konstan secara terpisah dan hitung limit dari suku lainnya menggunakan sifat pada contoh 9.a, dengan terlebih dahulu menyatakannya dalam bentuk akar.

$\begin{array}{cc}a.& \underset{x\to \infty }{lim}\left(2x-1-\sqrt{4x^2-2x+1}\right)\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\left(2x-\sqrt{4x^2-2x+1}\right)-\underset{x\to \infty }{lim}1\\ & =\underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt{4x^2}-\sqrt{4x^2-2x+1}\right)-\underset{x\to \infty }{lim}1\\ & =\frac{0-(-2)}{2\sqrt{4}}-1\left(9.a\right)\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{cc}b.& \underset{x\to -\infty }{lim}\left(\sqrt{x^2-4x}+x+2\right)\\ & =\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\sqrt{x^2-4x}-(-x)\right)+\underset{x\to -\infty }{lim}2\\ & =\underset{x\to -\infty }{lim}\left(\sqrt{x^2-4x}-\sqrt{x^2}\right)+\underset{x\to -\infty }{lim}2\\ & =\frac{-4-0}{-2\sqrt{1}}+2\left(9.b\right)\\ & =4\end{array}$


 Contoh 11 
Hitung limit berikut !
$\begin{array}{cc}& a.\underset{x\to \infty }{lim}xsin\frac{1}{x}\\ & b.\underset{x\to \infty }{lim}\frac{sin\frac{1}{x}}{x\left(1-cos\frac{2}{x}\right)}\end{array}$

Jawab :
$\begin{array}{cc}& a.\underset{x\to \infty }{lim}xsin\frac{1}{x}\end{array}$

     Misalkan u = 1/x, maka x = 1/u
     Jika x→∞ maka u→0. Akibatnya,

     $\begin{array}{cc}\underset{x\to \infty }{lim}xsin\frac{1}{x}& =\underset{u\to 0}{lim}\frac{1}{u}sinu\\ & =\underset{u\to 0}{lim}\frac{sinu}{u}\\ & =1\end{array}$


$\begin{array}{cc}& b.\underset{x\to \infty }{lim}\frac{sin\frac{1}{x}}{x\left(1-cos\frac{2}{x}\right)}\end{array}$

     Misalkan u = 1/x, maka x = 1/u
     Jika x→∞ maka u→0. Akibatnya

     $\begin{array}{cc}\underset{x\to \infty }{lim}\frac{sin\frac{1}{x}}{x\left(1-cos\frac{2}{x}\right)}& =\underset{u\to 0}{lim}\frac{sinu}{\frac{1}{u}\left(1-cos2u\right)}\\ & =\underset{u\to 0}{lim}\frac{usinu}{2si{n}^{2}u}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \underset{u\to 0}{lim}\frac{u}{sinu}\\ & =\frac{1}{2}\cdot 1\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$

Share this post