Aplikasi Integral : Menentukan Luas Daerah (Rumus Matematika)

 

Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, garis $x=a$ dan $x=b$

dengan $f\left(x\right)\ge 0$ pada $[a,b]$ adalah :$$L={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$

Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, garis $x=a$ dan $x=b$ dengan $f\left(x\right)\le 0$ pada $[a,b]$ adalah : $$L=-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$$

Luas Antara Dua Kurva

Luas daerah yang dibatasi kurva $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$, garis $x=a$ dan $x=b$ dengan $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ pada $[a,b]$ adalah : $$L={\int }_a^b\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$$



Contoh 1
Luas daerah yang dibatasi kurva $y=-x^2+3x$, sumbu-x, $x=0$ dan $x=2$ adalah... satuan luas

Jawab :
Sketsa grafik :

L = ${\int }_0^2$(−x² + 3x) dx
L = ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2\right]}_0^2$
L = $\frac{10}{3}$

Contoh 2
Luas daerah yang dibatasi kurva $y=4-x^2$, garis $y=x+2$ pada interval $-1\le x\le 1$ adalah... satuan luas.

Jawab :
Sketsa grafik :

L = ${\int }_{-1}^1$((4 − x²) − (x + 2)) dx
L = ${\int }_{-1}^1$(−x² − x + 2) dx
L = ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+2x\right]}_{-1}^1$
L = $\frac{10}{3}$

Luas Tepat Dibatasi Kurva

Jika luas tepat dibatasi satu kurva dan sumbu-x, maka batas-batas integralnya adalah titik potong sumbu-x kurva tersebut.

$$L={\int }_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)dx$$

Jika luas tepat dibatasi 2 kurva, maka batas-batas integralnya diperoleh dari titik potong kedua kurva tersebut $\left(f\left(x\right)=g\left(x\right)\right)$.

$$L={\int }_{x_1}^{x_2}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$$

Contoh 3
Luas daerah yang dibatasi kurva $y=x^2-1$ dan garis $y=-x-1$ adalah...

Jawab :
Sketsa grafik :

Titik potong kurva :
x² − 1 = −x − 1
x² + x = 0
x (x + 1) = 0
x = 0 atau x = −1

L = ${\int }_{-1}^0$((−x − 1) − (x² − 1)) dx
L = ${\int }_{-1}^0$(−x² − x) dx
L = ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{-1}^0$
L = $\frac{1}{6}$

Menentukan Batas-Batas Pengintegralan

Terkadang batas-batas yang diberikan belum tentu merupakan batas-batas yang digunakan dalam proses pengintegralan. Untuk kasus-kasus tertentu, kita perlu membagi atau memecah batas-batas tersebut baru kemudian mencari satu persatu luas pada masing-masing interval yang telah dipecah.

Misalkan luas berada pada interval [a, b]. Jika titik potong sumbu-x atau titik potong kurva berada pada interval (a, b), maka pecah batasnya menjadi [a, x] dan [x, b], dengan x adalah titik potong yang berada pada interval (a, b).

Perhatikan beberapa kasus berikut !

$$L=-{\int }_a^{x_2}f\left(x\right)dx+{\int }_{x_2}^{b}f\left(x\right)dx$$

$$L={\int }_a^{x_1}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx+{\int }_{x_1}^b\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx$$

$$L={\int }_a^{x_1}f\left(x\right)dx+{\int }_{x_1}^{b}g\left(x\right)dx$$

Contoh 4
Luas daerah yang dibatasi kurva $y=x^2-4x$ dan sumbu-x, pada interval $-1\le x\le 3$ adalah...

Jawab :
Sketsa grafik :

Titik potong sumbu-x :
x² − 4x = 0
x(x − 4) = 0
x = 0 atau x = 4

Untuk interval [−1, 0] :
L₁ = ${\int }_{-1}^0$(x² − 4x) dx
L₁ = ${\left[\frac{1}{3}{x}^3-2x^2\right]}_{-1}^0$
L₁ = $\frac{7}{3}$

Untuk interval [0, 3]
L_II = $-{\int }_0^3$(x² − 4x) dx
L_II = $-{\left[\frac{1}{3}{x}^3-2x^2\right]}_0^3$
L_II = 9

Jadi, luas untuk interval $[-1,3]$ adalah :
L = L₁ + L_II
L = $\frac{7}{3}$ + 9
L = $\frac{34}{3}$


Contoh 5
Tentukan luas untuk setiap daerah arsiran berikut !

Jawab :
Persamaan parabola yang memotong sumbu-x di titik (0, 0) dan (5, 0) dan melalui titik (1, −4) adalah :

y = a(x − x₁)(x − x₂)
−4 = a(1 − 0)(1 − 5)
⇒ a = 1

y = 1.(x − 0)(x − 5)
⇒ y = x² − 5x

Persamaan garis yang melalui titik (1, −4) dan (3, 0) adalah :
$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
$\frac{y-(-4)}{0-(-4)}=\frac{x-1}{3-1}$
⇒ y = 2x − 6

Titik potong kurva dan garis :
x² − 5x = 2x − 6
x² − 7x + 6 = 0
(x − 1)(x − 6) = 0
x = 1 atau x = 6

Luas I
Luas I di batasi parabola $y=x^2-5x$ dan garis $y=-4$.
Batas-batas integralnya adalah titik potong garis dan parabola tersebut.
x² − 5x = −4
x² − 5x + 4 = 0
(x − 1)(x − 4) = 0
x = 1 atau x = 4

L₁ = ${\int }_1^4$((−4) − (x² − 5x)) dx
L₁ = ${\int }_1^4$(− x² + 5x − 4) dx
L₁ = ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2-4x\right]}_1^4$
L₁ = $\frac{9}{2}$

Luas II
Pecah batasnya menjadi [0, 1] dan [1, 3].

Untuk interval [0, 1] :
L = $-{\int }_0^1$(x² − 5x) dx
L = $-{\left[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2\right]}_0^1$
L = $\frac{13}{6}$

Untuk interval [1, 3] :
L = $-{\int }_1^3$(2x − 6) dx
L = $-{\left[x^2-6x\right]}_1^3$
L = 4

Sehingga diperoleh :
L_II = $\frac{13}{6}$ + 4
L_II = $\frac{37}{6}$

Luas III
Pecah batasnya menjadi [3, 5] dan [5, 6].

Untuk interval [3, 5] :
L = ${\int }_3^5$(2x − 6) dx
L = ${\left[x^2-6x\right]}_3^5$
L = 4

Untuk interval [5, 6] :
L = ${\int }_5^6$((2x − 6) − (x² − 5x)) dx
L = ${\int }_5^6$(−x² + 7x − 6) dx
L = ${\left[-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{7}{2}{x}^2-6x\right]}_5^6$
L = $\frac{13}{6}$

Sehingga diperoleh :
L_III = 4 + $\frac{13}{6}$
L_III = $\frac{37}{6}$

atau luas III dapat ditentukan dari selisih daerah yang dibatasi garis $y=2x-6$ dan sumbu-x pada interval [3, 6] dengan daerah yang dibatasi kurva $y=x^2-5x$ dan sumbu-x pada interval [5, 6].

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post