Pembahasan Soal Ujian Nasional Logaritma

 

Pembahasan soal Ujian Nasional Matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Logaritma yang meliputi sifat-sifat logaritma, persamaan logaritma dan pertidaksamaan logaritma.

Definisi Logaritma
a^x = b  ⇔  x = ^alog b

Syarat Logaritma (^alog b)
Basis : a > 0 ; a ≠ 1
Numerus : b > 0

Sifat-Sifat Logaritma
1.  ^alog 1 = 0
2.  ^alog a = 1
3.  ^alog b + ^alog c = ^alog (bc)
4.  ^alog b − ^alog c = ^alog $\left(\frac{b}{c}\right)$
5.  ^alog b^m = m . ^alog b
6.  ${}^{a^n}$log b^m = $\frac{m}{n}$ . ^alog b
7.  ^alog b . ^blog c = ^alog c
8.  a${}^{{}^{a}logb}$ = b
9.  ^alog b = $\frac{1}{{}^{b}loga}$
10. ^alog b = $\frac{{}^{p}logb}{{}^{p}loga}$

Persamaan Logaritma
^alog b = ^alog c .
Solusi : b = c  ∩  syarat logaritma

Pertidaksamaan Logaritma
^alog b > ^alog c , dengan a > 1
Solusi : b > c  ∩  syarat logaritma

^alog b > ^alog c , dengan 0 < a < 1
Solusi : b < c  ∩  syarat logaritma

^alog b < ^alog c , dengan a > 1
Solusi : b < c  ∩  syarat logaritma

^alog b < ^alog c , dengan 0 < a < 1
Solusi : b > c  ∩  syarat logaritma

Pertidaksamaan Kuadrat
Misalkan pembuat nol suatu pertidaksamaan kuadrat dengan a > 0 adalah p dan q. Untuk p < q, berlaku :

1. Jika pertidaksamaan bertanda ">", maka :$$HP=\left\{x<pataux>q\right\}$$ 
2. Jika pertidaksamaan bertanda "<", maka :$$HP=\left\{p<x<q\right\}$$ 

1.  UN 2004

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-8)<0$ adalah...
A.  {x/ −2 < x < 2}
B.  {x/ −2√2 < x < 2√2}
C.  {x/ x < −3 atau x > 3}
D.  {x/ x < −2√2 atau x > 2√2}
E.  {x/ −3 < x < 2√2 atau 2√2 < x < 2}

Pembahaan :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0

Syarat logaritma :
x² − 8 > 0
(x + √8)(x − √8) = 0
x = −√8 atau x = √8
x = −2√2 atau x = 2√2
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2√2 atau x > 2√2  .................... (1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < ${}^{\frac{1}{2}}$log 1
x² − 8 > 1
x² − 9 > 0
(x + 3)(x − 3) = 0
x = −3 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −3 atau x > 3  ..............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
x < −3 atau x > 3

Jawaban : C


2.  UN 2005
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $2logx\le log(2x+5)+2log2$ adalah...
A.  $-\frac{5}{2}$ < x ≤ 10
B.  −2 ≤ x ≤ 10
C.  0 < x ≤ 10
D.  −2 < x < 0
E.  $-\frac{5}{2}$ ≤ x < 10

Pembahasan :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2

Syarat logaritma :
* x > 0
* 2x + 5 > 0 → x > $-\frac{5}{2}$
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
log x² ≤ log(2x + 5) + log 2²
log x² ≤ log(2x + 5) 4
x² ≤ 8x + 20
x² − 8x − 20 ≤ 0
(x + 2)(x − 10) = 0
x = −2 atau x = 10
Pertidaksamaan bertanda "≤" maka
−2 ≤ x ≤ 10  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x ≤ 10

Jawaban : C


3.  UN 2006
Nilai x yang memenuhi persamaan ${}^{2}log{}^{2}log\left(2^{x+1}+3\right)=1+{}^{2}logx$ adalah...
A.  ²log 3
B.  ³log 2
C.  log$\frac{2}{3}$
D.  −1 atau 3
E.  8 atau $\frac{1}{2}$

Pembahasan :
²log ²log(2^x+1 + 3) = 1 + ²log x

Syarat logaritma :
* 2^x+1 + 3 > 0 → x ∈ R
* ²log(2^x+1 + 3) > 0  → x ∈ R
* x > 0

Penyelesaian persamaan logaritma :
²log ²log(2^x+1 + 3) = 1 + ²log x
²log ²log(2^x+1 + 3) = ²log 2 + ²log x
²log ²log(2^x+1 + 3) = ²log 2x
²log(2^x+1 + 3) = 2x
2^2x = 2^x+1 + 3
 2^2x − 2^x+1 − 3 = 0
 (2^x)² − 2^x.2¹ − 3 = 0

Misalkan 2^x = y
 y² − 2y − 3 = 0
(y + 1)(y − 3) = 0
y = −1 atau y = 3

2^x = −1 → x ∉ R
2^x = 3 ⇔ x = ²log 3

Jawaban : A


4.  UN 2006
Penyelesaian pertidaksamaan $log(x-4)+log(x+8)<log(2x+16)$ adalah...
A.  x > 6
B.  x > 8
C.  4 < x < 6
D.  −8 < x < 6
E.  6 < x < 8

Pembahasan :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)

Syarat logaritma :
* x − 4 > 0 → x > 4
* x + 8 > 0 → x > −8
* 2x + 16 > 0 → x > −8
Irisan dari syarat diatas :
x > 4  .............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log(x − 4)(x + 8) < log(2x + 16)
(x − 4)(x + 8) < 2x + 16
x² + 4x − 32 < 2x + 16
x² + 2x − 48 < 0
(x + 8)(x − 6) = 0
x = −8 atau x = 6
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−8 < x < 6  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
4 < x < 6

Jawaban : C


5.  UN 2006
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ${}^{3}log(5-x)+{}^{3}log(1+x)<{}^{3}log(6x-10)$ adalah...
A.  x < −5 atau x > 3
B.  1 < x < 5
C.  $\frac{5}{3}$ < x < 5
D.  3 < x < 5
E.   −5 < x < 3

Pembahasan :
³log(5 − x) + ³log(1 + x) < ³log(6x − 10)

Syarat logaritma :
* 5 − x > 0 → x < 5
* 1 + x > 0 → x > −1
* 6x − 10 > 0  → x > $\frac{5}{3}$
Irisan dari syarat diatas :
$\frac{5}{3}$ < x < 5  ....................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
³log(5 − x) + ³log(1 + x) < ³log(6x − 10)
³log(5 − x)(1 + x) < ³log(6x − 10)
(5 − x)(1 + x) < 6x − 10
5 + 4x − x² < 6x − 10
x² + 2x − 15 > 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x = −5 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −5 atau x > 3  ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
3 < x < 5

Jawaban : D


6.  UN 2007
Jika ²log 3 = a dan ³log 5 = b, maka ¹⁵log 20 = ...
A.  $\frac{2}{a}$
B.  $\frac{2+ab}{a(1+b)}$
C.  $\frac{a}{2}$
D.  $\frac{b+1}{2ab+1}$
E.  $\frac{a(1+b)}{2+ab}$

Penyelesaian :
²log 3 = a  ⇔  ³log 2 = $\frac{1}{a}$
³log 5 = b 

$\begin{array}{cc}{}^{15}log20& =\frac{{}^{3}log20}{{}^{3}log15}\\ & =\frac{{}^{3}log(2^2\times 5)}{{}^{3}log(3\times 5)}\\ & =\frac{{}^{3}log{2}^2+{}^{3}log5}{{}^{3}log3+{}^{3}log5}\\ & =\frac{2\cdot {}^{3}log2+{}^{3}log5}{{}^{3}log3+{}^{3}log5}\\ & =\frac{2\left(\frac{1}{a}\right)+b}{1+b}\cdot \frac{a}{a}\\ & =\frac{2+ab}{a(1+b)}\end{array}$

Jawaban : B


7.  UN 2008
Diketahui ²log 7 = a dan ²log 3 = b, maka nilai dari ⁶log 14 adalah...
A.  $\frac{a}{a+b}$
B.  $\frac{a+1}{a+b}$
C.  $\frac{a+1}{b+1}$
D.  $\frac{a}{a(1+b)}$
E.  $\frac{a+1}{a(1+b)}$

Penyelesaian :
²log 7 = a
²log 3 = b

$\begin{array}{cc}{}^{6}log14& =\frac{{}^{2}log14}{{}^{2}log6}\\ & =\frac{{}^{2}log(2\times 7)}{{}^{2}log(2\times 3)}\\ & =\frac{{}^{2}log2+{}^{2}log7}{{}^{2}log2+{}^{2}log3}\\ & =\frac{1+a}{1+b}\end{array}$

Jawaban : C


8.  UN 2008
Akar-akar dari persamaan ${}^{2}lo{g}^{2}x-6{}^{2}logx+8={}^{2}log1$ adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ =...
A.  6
B.  8
C.  10
D.  12
E.  20

Pembahasan :
²log²x − 6 ²log x + 8 = ²log 1

Syarat logaritma :
x > 0 ..............................(1)

Penyelesaian persamaan logaritma :
²log²x − 6 ²log x + 8 = ²log 1
(²log x)² − 6 ²log x + 8 = 0

Misalkan :  ²log x = y
y² − 6y + 8 = 0
(y − 2)(y − 4) = 0
y = 2 atau y = 4

²log x = 2 ⇔ x = 2² = 4
²log x = 4 ⇔ x = 2⁴ = 16

x₁ + x₂ = 4 + 16 = 20

Jawaban : E


9.  UN 2009
Diketahui ${}^{64}log\sqrt{{16}^{x-4}}=\frac{1}{2}$. Nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
A.  −5$\frac{1}{2}$
B.  −4$\frac{3}{4}$
C.  4
D.  5$\frac{1}{2}$
E.  9$\frac{1}{2}$

Penyelesaian :
⁶⁴log$\sqrt{{16}^{x-4}}=\frac{1}{2}$

Syarat logaritma :
$\sqrt{{16}^{x-4}}$ > 0 → x ∈ R

Penyelesaian persamaan logaritma :
⁶⁴log$\sqrt{{16}^{x-4}}$ = $\frac{1}{2}$
⁶⁴log$\sqrt{{16}^{x-4}}$ = ⁶⁴log 64${}^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt{{16}^{x-4}}$ = 64${}^{\frac{1}{2}}$  (kuadratkan kedua ruas)
16^x-4 = 64
2^4(x-4) = 2⁶
4(x − 4) = 6
4x − 16 = 6
4x = 22
x = 5$\frac{1}{2}$

Jawaban : D


10.  UN 2010
Nilai dari $\frac{{}^{3}log\sqrt{6}}{{\left({}^{3}log18\right)}^2-{\left({}^{3}log2\right)}^2}=...$
A.  $\frac{1}{8}$
B.  $\frac{1}{2}$
C.  1
D.  2
E.  8

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}\frac{{}^{3}log\sqrt{6}}{{(}^{3}log18{)}^2-{(}^{3}log2{)}^2}& =\frac{{}^{3}log\sqrt{6}}{{(}^{3}log18+{}^{3}log2){(}^{3}log18-{}^{3}log2)}\\ & =\frac{{}^{3}log\sqrt{6}}{{(}^{3}log36\left){(}^{3}log9\right)}\\ & =\frac{{}^{3}log\sqrt{6}}{{}^{3}log36}\cdot \frac{1}{{}^{3}log9}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\cdot {}^{3}l\text{/}og6}{2\cdot {}^{3}l\text{/}og6}\cdot \frac{1}{2}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\cdot 1}{2\cdot 2}\\ & =\frac{1}{8}\end{array}$

 Jawaban : A


11.  UN 2010
Hasil dari $\frac{{}^{3}log5{}^{\sqrt{5}}log9+{}^{8}log2}{{}^{2}log12-{}^{2}log3}=...$
A.  $\frac{4}{6}$
B.  $\frac{7}{6}$
C.  $\frac{5}{3}$
D.  $\frac{13}{6}$
E.  $\frac{26}{6}$

Pembahasan :
$$\frac{{}^{3}log5.{}^{5^{\frac{1}{2}}}log{3}^2+{}^{2^3}log2}{{}^{2}log\left(\frac{12}{3}\right)}$$$$\frac{\frac{2}{\frac{1}{2}}{}^{3}log5{.}^{5}log3+\frac{1}{3}{}^{2}log2}{{}^{2}log{2}^2}$$$$\frac{4{}^{3}log3+\frac{1}{3}{}^{2}log2}{2{}^{2}log2}$$$$\frac{4+\frac{1}{3}}{2}=\frac{13}{6}$$
Jawaban : D


12.  UN 2011
Nilai x yang memenuhi persamaan ${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-3)-{}^{\frac{1}{2}}logx=-1$ adalah...
A.  x = −1 atau x = 3
B.  x = 1 atau x = −3
C.  x = 1 atau x = 3
D.  x = 1 saja
E.  x = 3 saja

Pembahasan :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 3) − ${}^{\frac{1}{2}}$log x = −1

Syarat logaritma :
* x² − 3 > 0
* x > 0

Penyelesaian persamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 3) − ${}^{\frac{1}{2}}$log x = ${}^{\frac{1}{2}}$log ($\frac{1}{2}$)^-1
${}^{\frac{1}{2}}$log$\left(\frac{x^2-3}{x}\right)$ = ${}^{\frac{1}{2}}$log 2
$\frac{x^2-3}{x}$ = 2
x² − 3 = 2x
x² − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3

Berdasarkan syarat logaritma, maka yang memenuhi adalah x = 3

Jawaban : E


13.  UN 2012
Diketahui ³log 6 = p dan ³log 2 = q. Nilai ²⁴log 288 = ...
A.  $\frac{2p+3q}{p+2q}$
B.  $\frac{3p+2q}{p+2q}$
C.  $\frac{p+2q}{2p+3q}$
D.  $\frac{p+2q}{3p+2q}$
E.  $\frac{q+2p}{2p+3q}$

Pembahasan :
³log 6 = p
³log 2 = q

$\begin{array}{cc}{}^{24}log288& =\frac{{}^{3}log288}{{}^{3}log24}\\ & =\frac{{}^{3}log(2^3\times 6^2)}{{}^{3}log(2^2\times 6)}\\ & =\frac{{}^{3}log{2}^3+{}^{3}log{6}^2}{{}^{3}log{2}^2+{}^{3}log6}\\ & =\frac{3\cdot {}^{3}log2+2\cdot {}^{3}log6}{2\cdot {}^{3}log2+{}^{3}log6}\\ & =\frac{3q+2p}{2q+p}\end{array}$

Jawaban : A


14.  UN 2013
Bentuk sederhana dari $\frac{{}^{2}lo{g}^{2}a-{}^{2}lo{g}^{2}b}{{}^{2}logab}$ adalah...
A.  ²log($\frac{a}{b}$)
B.  ²log(ab)
C.  ²log(a − b)
D.  ²log(a + b)
E.  ²log(a + b)²

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}\frac{{}^{2}lo{g}^{2}a-{}^{2}lo{g}^{2}b}{{}^{2}logab}& =\frac{{(}^{2}loga+{}^{2}logb){(}^{2}loga-{}^{2}logb)}{{}^{2}logab}\\ & =\frac{{}^{2}lo\text{/}gab\cdot {}^{2}log\left(\frac{a}{b}\right)}{{}^{2}lo\text{/}gab}\\ & ={}^{2}log\left(\frac{a}{b}\right)\end{array}$

Jawaban : A


15.  UN 2013
Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{2}logx+{}^{2}log(x-1)<1$ adalah...
A.  −1 < x < 2
B.  0 < x < 1
C.  1 < x < 2
D.  1 ≤ x < 2
E.  0 < x < 2

Pembahasan :
²log x + ²log(x − 1) < 1

Syarat logaritma :
* x > 0
* x − 1 > 0 → x > 1
Irisan dari syarat diatas :
x > 1  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
²log x + ²log(x − 1) < 1
²log x(x − 1) < ²log 2
x(x − 1) < 2
x² − x − 2 < 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x = −1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 2  .......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
1 < x < 2

Jawaban : C


16.  UN 2014
Hasil dari $\frac{{}^{\sqrt{2}}log4-{}^{5}log8.{}^{2}log25}{{}^{8}log14-{}^{8}log7}=...$
A.  6
B.  $\frac{2}{3}$
C.  $-\frac{2}{3}$
D.  −2
E.  −6

Pembahasan :
$$\frac{{}^{2^{\frac{1}{2}}}log{2}^2-{}^{5}log{2}^3.{}^{2}log{5}^2}{{}^{8}log\left(\frac{14}{7}\right)}$$$$\frac{\frac{2}{\frac{1}{2}}{}^{2}log2-3.2.{}^{5}log2.{}^{2}log5}{{}^{2^3}log2}$$$$\frac{4{}^{2}log2-6{}^{5}log5}{\frac{1}{3}{}^{2}log2}$$$$\frac{4-6}{\frac{1}{3}}=-6$$
Jawaban : E


17.  UN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{2}logx.{}^{x+1}log4<2-{}^{x+1}log4$ adalah...
A.  x > $\frac{1}{3}$
B.  x > 1
C.  0 < x < 1
D.  0 < x < $\frac{1}{3}$
E.  $\frac{1}{3}$ < x < 1

Pembahasan :
²log x . ^x+1log 4 < 2 − ^x+1log 4

Syarat logaritma :
* x > 0
* x + 1 > 0 → x > −1
* x + 1 ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
²log x . ^x+1log 4 < 2 − ^x+1log 4
²log x . ^x+1log 4 + ^x+1log 4 < 2
^x+1log 4 (²log x + 1) < 2
^x+1log 2² (²log x + ²log 2) < 2
2 . ^x+1log 2 . ²log 2x < 2
2 . ^x+1log 2x < 2
 ^x+1log 2x < 1
 ^x+1log 2x < ^x+1log (x + 1)
Berdasarkan syarat logaritma (1), maka nilai basis (x + 1) akan bernilai > 1, sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah.
2x < x + 1
x < 1  ..............................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x < 1

Jawaban : C


18.  UN 2014
Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{3}logx.{}^{1-2x}log9<2-{}^{1-2x}log9$ adalah...
A.  0 < x < $\frac{1}{5}$
B.  0 < x < $\frac{2}{5}$
C.  0 < x < $\frac{1}{2}$
D.  $\frac{1}{5}$ < x < $\frac{1}{2}$
E.  $\frac{2}{5}$ < x < $\frac{1}{2}$

Pembahasan :
³log x . ^1-2xlog 9 < 2 − ^1-2xlog 9

Syarat logaritma :
* x > 0
* 1 − 2x > 0 → x < $\frac{1}{2}$
* 1 − 2x ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
0 < x < $\frac{1}{2}$  ..........................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
³log x . ^1-2xlog 9 < 2 − ^1-2xlog 9

³log x . ^1-2xlog 9 + ^1-2xlog 9 < 2

^1-2xlog 9 (³log x + 1) < 2

^1-2xlog 3² (³log x + ³log 3) < 2

2 . ^1-2xlog 3 . ³log 3x < 2
2 . ^1-2xlog 3x < 2
^1-2xlog 3x < 1
^1-2xlog 3x < ^1-2xlog (1 − 2x)
Berdasarkan syarat  logaritma (1), maka nilai basis (1 − 2x) akan berada pada interval 0 − 1, sehingga tanda pertidaksamaan dibalik.
3x > 1 − 2x
5x > 1
x > $\frac{1}{5}$  .................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
$\frac{1}{5}$ < x < $\frac{1}{2}$

Jawaban : D


19.  UN 2015
Hasil dari $\frac{{}^{3}log\sqrt{5}.{}^{\sqrt[3]{35}}log\frac{1}{3}+{}^{5}log\frac{1}{5}}{{}^{3}log\frac{1}{27}-{}^{3}log3\sqrt{3}}=...$
A.  $\frac{45}{4}$
B.  $\frac{5}{9}$
C.  $\frac{1}{3}$
D.  $-\frac{1}{3}$
E.  $-\frac{5}{9}$

Pembahasan :
$$\frac{{}^{3}log{5}^{\frac{1}{2}}.{}^{5^{\frac{1}{3}}}log{3}^{-1}+{}^{5}log{5}^{-1}}{{}^{3}log{3}^{-3}-{}^{3}log{3}^{\frac{3}{2}}}$$$$\frac{\frac{1}{2}.\frac{-1}{\frac{1}{3}}.{}^{3}log5.{}^{5}log3+(-1{)}^{5}log5}{{}^{3}log\left(\frac{3^{-3}}{3^{\frac{3}{2}}}\right)}$$$$\frac{-\frac{3}{2}.{}^{3}log3-{}^{5}log5}{{}^{3}log{3}^{-\frac{9}{2}}}$$$$\frac{-\frac{3}{2}-1}{-\frac{9}{2}}=\frac{5}{9}$$
Jawaban : B


20.  UN 2015
Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{4}}log(x^2+3x+2)>{}^{\frac{1}{4}}log(5x+5)$ adalah...
A.  −2 < x < −1 atau x > 3
B.  x < −2 atau x > 3
C.  x < −3 atau x > 2
D.  −2 < x < 3
E.  −1 < x < 3

Pembahasan :
${}^{\frac{1}{4}}$log(x² + 3x + 2) > ${}^{\frac{1}{4}}$log(5x + 5)

Syarat logaritma :
* x² + 3x + 2 > 0
(x + 2)(x + 1) = 0
x = −2 atau x = −1
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2 atau x > −1
* 5x + 5 > 0 → x > −1
Irisan dari syarat diatas :
x > −1  ............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{4}}$log(x² + 3x + 2) > ${}^{\frac{1}{4}}$log(5x + 5)
x² + 3x + 2 < 5x + 5
x² − 2x − 3 < 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 3  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
−1 < x < 3

Jawaban : E


21.  UN 2016
Nilai dari ${\left(\frac{{}^{5}log9.{}^{81}log625+{}^{5}log125}{{}^{6}log216-{}^{6}log36}\right)}^3=...$
A.  625
B.  125
C.  25
D.  −25
E.  −125

Pembahasan :
$${\left(\frac{{}^{5}log{3}^2.{}^{3^4}log{5}^4+{}^{5}log{5}^3}{{}^{6}log\left(\frac{216}{36}\right)}\right)}^3$$$${\left(\frac{2.\frac{4}{4}.{}^{5}log3.{}^{3}log5+3.{}^{5}log5}{{}^{6}log6}\right)}^3$$$${\left(\frac{2.{}^{5}log5+3.{}^{5}log5}{{}^{6}log6}\right)}^3$$$${\left(\frac{2+3}{1}\right)}^3=125$$
Jawaban : B


22.  UN 2016
Nilai x yang memenuhi ${}^{\frac{1}{3}}log(x+\sqrt{3})+{}^{\frac{1}{3}}log(x-\sqrt{3})>0$ ...
A.  x < −√3 atau 0 < x < 2
B.  −2 < x < −√3 atau √3 < x < 2
C.  √3 < x < 2
D.  −2 < x < 2
E.  −√3 < x < 2

Pembahasan :
${}^{\frac{1}{3}}$log(x + √3) + ${}^{\frac{1}{3}}$log(x − √3)  > 0

Syarat logaritma :
* x + √3 > 0 → x > −√3
* x − √3 > 0 → x > √3
Irisan dari syarat diatas :
x > √3  .........................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma ;
${}^{\frac{1}{3}}$log(x + √3) + ${}^{\frac{1}{3}}$log(x − √3)  > 0
${}^{\frac{1}{3}}$log(x + √3)(x − √3)  > ${}^{\frac{1}{3}}$log 1
(x + √3)(x − √3) < 1
x² − 3 < 1
x² − 4 < 0
(x + 2)(x − 2) = 0
x = −2 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−2 < x < 2  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
√3 < x < 2

Jawaban : C

23.  UN 2017
Hasil dari $\frac{{}^{6}log32\cdot {}^{\sqrt{8}}log27\cdot {}^{\frac{1}{3}}log6\sqrt{6}}{{}^{\sqrt{2}}log32-{}^{\sqrt{2}}log8}$ adalah ...
A.  15/4
B.  15/9
C.  -15/16
D.  -15/4
E.  -5/4

Pembahasan :
Misalkan :  $\begin{array}{c}\frac{{}^{6}log32\cdot {}^{\sqrt{8}}log27\cdot {}^{\frac{1}{3}}log6\sqrt{6}}{{}^{\sqrt{2}}log32-{}^{\sqrt{2}}log8}=L\end{array}$

$\begin{array}{cc}L& =\frac{\left({}^{6}log32\right)\left({}^{\sqrt{8}}log27\right)\left({}^{\frac{1}{3}}log6\sqrt{6}\right)}{{}^{\sqrt{2}}log\left(\frac{32}{8}\right)}\\ & =\frac{\left({}^{6}log{2}^5\right)\left({}^{2^{\frac{3}{2}}}log{3}^3\right)\left({}^{3^{-1}}log{6}^{\frac{3}{2}}\right)}{{}^{2^{\frac{1}{2}}}log{2}^2}\\ & =\frac{\left(5\cdot {}^{6}log2\right)\left(2\cdot {}^{2}log3\right)\left(-\frac{3}{2}\cdot {}^{3}log6\right)}{4\cdot {}^{2}log2}\\ & =\frac{5\cdot 2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right){}^{6}log2\cdot {}^{2}log3\cdot {}^{3}log6}{4\cdot 1}\\ & =\frac{-15\cdot {}^{6}log6}{4}\\ & =-\frac{15}{4}\end{array}$

Jawaban : D

24.  UN 2018
Jika x > 0 dan y > 0, maka $\frac{3-3lo{g}^{2}xy}{1-log{x}^3{y}^2+2logx\sqrt{y}}=$
A.  3 + log xy
B.  3 log xy
C.  3 log 10xy
D.  1/3
E.  3

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}\frac{3-3lo{g}^{2}xy}{1-log{x}^3{y}^2+2logx\sqrt{y}}& =\frac{3(1-lo{g}^{2}xy)}{1-(log{x}^3{y}^2-log{x}^{2}y)}\\ & =\frac{3(1-logxy)(1+logxy)}{1-logxy}\\ & =3(1+logxy)\\ & =3(log10+logxy)\\ & =3log10xy\end{array}$

Jawaban : C

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post