Pembahasan Soal UN Garis Singgung Kurva

 

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk materi pembahasan Persamaan Garis Singgung Kurva.

1.  UN 2006
Persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt[3]{35+x}$ di titik dengan absis 3 adalah...
A.  x − 12y + 21 = 0
B.  x − 12y +23 = 0
C.  x − 12y + 27 = 0
D.  x − 12y + 34 = 0
E.  x − 12y + 27 = 0

Pembahasan :
y = (5 + x)${}^{\frac{1}{3}}$
Untuk absis 3  →  y = (5 + 3)${}^{\frac{1}{3}}$ = 2
Diperoleh titik singgung : (3, 2)

f(x) = (5 + x)${}^{\frac{1}{3}}$  →  f'(x) = $\frac{1}{3(5+x{)}^{\frac{2}{3}}}$
m = f'(3) = $\frac{1}{3(5+3{)}^{\frac{2}{3}}}$ = $\frac{1}{12}$

Persamaan garis singgung di titik (3, 2) dengan gradien m = $\frac{1}{12}$ adalah
y − 2 = $\frac{1}{12}$(x − 3)
12(y − 2) = x − 3
12y − 24 = x − 3
x − 12y + 21 = 0

Jawaban : A


2.  UN 2009
Garis singgung di titik (2, p) pada kurva $y=2\sqrt{x+2}$ memotong sumbu x di titik...
A. (−10, 0)
B.  (−6, 0)
C.  (−2, 0)
D.  (2, 0)
E.  (6, 0)

Pembahasan :
y = 2(x + 2)${}^{\frac{1}{2}}$

Untuk x = 2  →  y = 2(2 + 2)${}^{\frac{1}{2}}$ = 4
Diperoleh titik singgung : (2, 4)

f(x) = 2(x + 2)${}^{\frac{1}{2}}$  →  f'(x) = $\frac{1}{(x+2{)}^{\frac{1}{2}}}$
m = f'(2) = $\frac{1}{(2+2{)}^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{1}{2}$

Persamaan garis singgung di titik (2, 4) dengan gradien m = $\frac{1}{2}$ adalah
y − 4 = $\frac{1}{2}$(x − 2)

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
0 − 4 = $\frac{1}{2}$(x − 2)
−8 = x − 2
x = −6

Diperoleh titik potong sumbu-x : (−6, 0)

Jawaban : C


3.  UN 2009
Garis l menyinggung kurva $y=6\sqrt{x}$ di titik yang berabsis 4. Titik potong garis l dengan sumbu x adalah...
A.  (4, 0)
B.  (−4, 0)
C.  (12, 0)
D.  (−6, 0)
E.  (6, 0)

Pembahasan :
y = 6x${}^{\frac{1}{2}}$

Untuk absis 4  →  y = 6. 4${}^{\frac{1}{2}}$ = 12
Diperoleh titik singgung : (4, 12)

f(x) = 6x${}^{\frac{1}{2}}$  →  f '(x) = $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$
m = f'(4) = $\frac{3}{4^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{3}{2}$

Persamaan garis singgung di titik (4, 12) dengan gradien m = $\frac{3}{2}$ adalah
y − 12 = $\frac{3}{2}$(x − 4)

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
0 − 12 = $\frac{3}{2}$(x − 4)
−24 = 3x − 12
−12 = 3x
x = −4

Diperoleh titik potong sumbu-x : (−4, 0)

Jawaban : B

4.  UN 2010
Koordinat titik potong garis singgung yang melalui titik $\left(-1,\frac{9}{2}\right)$ pada kurva $y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{4}{x}$ dengan sumbu y adalah...
A.  (0, −4)
B.  (0, $-\frac{1}{2}$)
C.  (0, $\frac{9}{2}$)
D.  (0, $\frac{15}{2}$)
E.  (0, 8)

Pembahasan :
Titik singgung : $\left(-1,\frac{9}{2}\right)$

f(x) = $\frac{1}{2}$x² − 4x^-1  →  f'(x) = x + $\frac{4}{x^2}$
m = f'(−1) = $-1+\frac{4}{(-1{)}^2}$ = 3

Persamaan garis singgung di titik $\left(-1,\frac{9}{2}\right)$ dengan gradien m = 3 adalah
y − $\frac{9}{2}$ = 3(x − (−1))
y = 3(x + 1) + $\frac{9}{2}$

Titik potong sumbu-y ⇒ x = 0
y = 3(0 + 1) + $\frac{9}{2}$
y = $\frac{15}{2}$

Diperoleh titik potong sumbu-y : (0, $\frac{15}{2}$)

Jawaban : D


5.  UN 2010
Diketahui h adalah garis singgung kurva $y=x^3-4x^2+2x-3$ pada titik (1, −4). Titik potong garis h dengan sumbu X adalah...
A.  (−3, 0)
B.  (−2, 0)
C.  (−1, 0)
D.  $\left(-\frac{1}{2},0\right)$
E.  $\left(-\frac{1}{3},0\right)$

Pembahasan :
Titik singgung : (1, −4)

f(x) = x³ − 4x² + 2x − 3  →  f'(x) = 3x² − 8x + 2
m = f'(1) = 3(1)² − 8(1) + 2 = −3

Persamaan garis singgung di titik (1, −4) dengan gradien m = −3 adalah
y − (−4)) = −3(x − 1)
y + 4 = −3x + 3

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
0 + 4 = −3x + 3
3x = −1
x = $-\frac{1}{3}$

Diperoleh titik potong sumbu-x : ($-\frac{1}{3}$, 0)

Jawaban : E


6.  UN 2016
Salah satu persamaan garis singgung kurva $y=2x^2-3x+5$ pada titik yang berordinat 4 adalah...
A.  y = x − 5
B.  y = x − 3
C.  y = x − 1
D.  y = x + 3
E.  y = x + 5

Pembahasan :
y = 2x² − 3x + 5

Untuk ordinat 4 maka
4 = 2x² − 3x + 5
2x² − 3x + 1 = 0
(2x − 1)(x − 1) = 0
x = $\frac{1}{2}$ atau x = 1

Untuk x = $\frac{1}{2}$  →  y = 2($\frac{1}{2}$)² − 3($\frac{1}{2}$) + 5 = 4
Untuk x = 1  →  y = 2(1)² − 3(1) + 5 = 4

Diperoleh titik singgung :
A($\frac{1}{2}$, 4) dan  B(1, 4)

f(x) = 2x² − 3x + 5  →  f'(x) = 4x − 3
m_A = f'($\frac{1}{2}$) = 4($\frac{1}{2}$) − 3 = −1
m_B = f '(1) = 4(1) − 3 = 1

Persamaan garis singgung di titik A$\left(\frac{1}{2},4\right)$ dengan gradien m_A = −1 adalah
y − 4 = −1$\left(x-\frac{1}{2}\right)$
⇒  y = $-x+\frac{9}{2}$

Persamaan garis singgung di titik B(1, 4) dengan gradien m_B = 1 adalah
y − 4 = 1(x −1)
⇒ y = x + 3

Jawaban : D


7.  UN 2017
Diketahui grafik fungsi y = 2x² - 3x + 7 berpotongan dengan garis y = 4x + 1. Salah satu persamaan garis singgung yang melalui titik potong kurva dan garis tersebut adalah ...
A.  y = 5x + 7
B.  y = 5x - 1
C.  y = x + 5
D.  y = 3x - 7
E.  y = 3x + 5

Pembahasan :
Titik potong kurva dan garis diperoleh dari persamaan
2x² - 3x + 7 = 4x + 1
2x² - 7x + 6 = 0
(2x - 3)(x - 2) = 0
x = $\frac{3}{2}$  atau  x = 2

Untuk x = $\frac{3}{2}$  →  y = 4($\frac{3}{2}$) + 1 = 7
Untuk x = 2   →  y = 4(2) + 1 = 9

Diperoleh titik potong kurva dan garis :
($\frac{3}{2}$, 7)  dan  (2, 9)

f(x) = 2x² - 3x + 7  → f'(x) = 4x - 3

Gradien garis singgung dititik ($\frac{3}{2}$, 7) adalah
m = f'($\frac{3}{2}$) = 4($\frac{3}{2}$) - 3 = 3
Jadi, PGS di titik ($\frac{3}{2}$, 7) adalah
y - 7 = 3(x - $\frac{3}{2}$)
y - 7 = 3x - $\frac{9}{2}$
y = 3x + $\frac{5}{2}$

Gradien garis singgung di titik (2, 9) adalah
m = f'(2) = 4(2) - 3 = 5
Jadi, PGS di titik (2, 9) adalah
y - 9 = 5(x - 2)
y - 9 = 5x - 10
y = 5x - 1

Jawaban : B

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post