Aplikasi Integral : Menghitung Volume Benda Putar

 

Volume Benda Putar Terhadap Sumbu-x

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, garis $x=a$ dan $x=b$ diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah :
$$V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dxatau$$$$V=\pi {\int }_a^b{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$$

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y₁ = f(x), y₂ = g(x), garis $x=a$ dan $x=b$ diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah :$$V=\pi {\int }_a^b\left(y{{}_1}^2-y{{}_2}^2\right)dxatau$$$$V=\pi {\int }_a^b\left({\left[f\left(x\right)\right]}^2-{\left[g\left(x\right)\right]}^2\right)dx$$

Volume Benda Putar Terhadap Sumbu-y

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva x = f(y), sumbu-y, garis $y=a$ dan $y=b$ diputar 360^o mengelilingi sumbu-y adalah :$$V=\pi {\int }_a^b{x}^{2}dyatau$$$$V=\pi {\int }_a^b{\left[f\left(y\right)\right]}^{2}dy$$

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva x₁ = f(y), x₂ = g(y), garis $x=a$ dan $x=b$ diputar 360^o mengelilingi sumbu-y adalah :$$V=\pi {\int }_a^b\left(x{{}_1}^2-x{{}_2}^2\right)dyatau$$$$V=\pi {\int }_a^b\left({\left[f\left(y\right)\right]}^2-{\left[g\left(y\right)\right]}^2\right)dy$$

Contoh 1
Volume Benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi kurva $y=2x-x^2$, sumbu-x, $0\le x\le 1$, diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah... satuan volume.

Jawab :
Titik potong sumbu-x  ⇒ y = 0
2x − x² = 0
x(2 − x) = 0
x = 0 atau x = 2


V = π${\int }_0^1$y² dx
V = π${\int }_0^1$(2x − x²)² dx
V = π${\int }_0^1$(x⁴ − 4x³ + 4x²) dx
V = π${\left[\frac{1}{5}{x}^5-x^4+\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^1$
V = $\frac{8}{15}$π


Contoh 2
Volume benda putar yang terjadi jika daerah diantara kurva $y=\sqrt{x}$ dan $y=\frac{1}{2}x$, diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah... satuan volume.

Jawab :
Misalkan :
y₁ = √x
y₂ = $\frac{1}{2}$x

Titik potong kurva :
y₁ = y₂
√x = $\frac{1}{2}$x  (kuadratkan)
x = $\frac{1}{4}$x²   (kali 4)
4x = x²
4x − x² = 0
x (4 − x) = 0
x = 0 atau x = 4

V = π${\int }_0^4$(y₁² − y₂²) dx
V = π${\int }_0^4\left\{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2\right\}dx$
V = π${\int }_0^4$(x − $\frac{1}{4}$x²) dx
V = π${\left[\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{12}{x}^3\right]}_0^4$
V = $\frac{8}{3}$π


Contoh 3
Daerah yang dibatasi kurva $y=x^2$, garis $y=2-x$ dan sumbu-x diputar diputar 360^o mengelilingi sumbu-x. Volume benda putar yang terjadi adalah ... satuan volume.

Jawab :
Misalkan :
y₁ = x²
y₂ = 2 − x

Titik potong kurva :
y₁ = y₂
x² = 2 − x
x² + x − 2 = 0
(x + 2)(x − 1) = 0
x = −2 atau x = 1

Titik potong garis dan sumbu-x  ⇒ y = 0
2 − x = 0
x = 2

V_I = π${\int }_0^1$ y₁² dx
V_I = π${\int }_0^1$ (x²)² dx
V_I = π${\int }_0^1$ x⁴ dx
V_I = π${\left[\frac{1}{5}{x}^5\right]}_0^1$
V_I = $\frac{1}{5}$π

V_II = π${\int }_1^2$ y₂² dx
V_II = π${\int }_1^2$ (2 − x)² dx
V_II = π${\int }_1^2$ (x² − 4x + 4) dx
V_II = π${\left[\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+4x\right]}_1^2$
V_II = $\frac{1}{3}$π

Sehingga diperoleh :
V = V_I + V_II
V = $\frac{1}{5}$π + $\frac{1}{3}$π
V = $\frac{8}{15}$π


Contoh 4
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva $y^2=2x+4$ dan sumbu-y dikuadran kedua, diputar 360^o mengelilingi sumbu-y adalah ... satuan volume.

Jawab :
y² = 2x + 4
⇒ 2x = y² − 4
⇒ x = $\frac{1}{2}$y² − 2

Titik potong kurva dan sumbu-y  ⇒ x = 0
$\frac{1}{2}$y² − 2 = 0 (kali 2)
y² − 4 = 0
(y + 2)(y − 2) = 0
y = −2 atau y = 2

V = π${\int }_0^2$ x² dy
V = π${\int }_0^2$ ($\frac{1}{2}$y² − 2)² dy
V = π${\int }_0^2$ ($\frac{1}{4}$y⁴ − 2y² + 4) dy
V = π${\left[\frac{1}{20}{y}^5-\frac{2}{3}{y}^3+4y\right]}_0^2$
V = $\frac{64}{15}$π


Contoh 5
Volume benda putar yang terbentuk bila daerah antara kurva $y=x^2-4$ dan $y=2x-4$ diputar 360^o mengelilingi sumbu-y adalah ... satuan volume.

Jawab :
y =  x² − 4
⇒ x² = y + 4

y = 2x − 4
⇒ 2x = y + 4
⇒ x = $\frac{1}{2}$y + 2
⇒ x² = ($\frac{1}{2}$y + 2)²

Misalkan :
x₁² = y + 4
x₂² = ($\frac{1}{2}$y + 2)²

Titik potong kurva :
x₁² = x₂²
y + 4 = ($\frac{1}{2}$y + 2)²
y + 4 = $\frac{1}{4}$y² + 2y + 4
$\frac{1}{4}$y² + y = 0  (kali 4)
y² + 4y = 0
y(y + 4) = 0
y = 0 atau y = −4

V = π${\int }_{-4}^0$(x₁² − x₂²) dx
V = π${\int }_{-4}^0${(y + 4) − ($\frac{1}{4}$y² + 2y + 4)} dx
V = π${\int }_{-4}^0$($-\frac{1}{4}$y² − y ) dx
V = π${\left[-\frac{1}{12}{y}^3-\frac{1}{2}{y}^2\right]}_{-4}^0$
V = $\frac{8}{3}$π

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post