Nilai Maksimum dan Minimum dalam Interval Tertutup

 

Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam interval tertutup disebut juga dengan nilai maksimum/minimum mutlak atau global.

Jika suatu fungsi kontinu dan diferensiabel untuk setiap titik pada interval tertutup [a, b], maka nilai maksimum dan minimum fungsi tersebut akan terjadi pada :

1. Titik-titik stasioner yang berada pada [a, b].
2. Titik-titik ujung interval.

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Untuk interval [a, b] kurva tersebut mencapai nilai maksimum pada ujung kanan interval dan mencapai nilai minimum pada ujung kiri interval.
Nilai maksimum : f(b)
Nilai minimum : f(a)

Untuk interval [p, s] kurva tersebut mencapai nilai maksimum di titik balik maksimum dan mencapai nilai minimum di titik balik minimum.
Nilai maksimum : f(q)
Nilai minimum : f(r)

Untuk interval [p, b] kurva tersebut mencapai nilai maksimum pada ujung kanan interval dan mencapai nilai minimum di titik balik minimum.
Nilai maksimum : f(b)
Nilai minimum : f(r)

Untuk interval [a, r] kurva tersebut mencapai nilai maksimum di titik balik maksimum dan mencapai nilai minimum pada ujung kiri interval.
Nilai maksimum : f(q)
Nilai minimum ; f(a)

Dengan mengacu dari uraian-uraian ditas, maka nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x) dalam interval tertutup [a, b] dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) yang berada pada interval [a, b].
2. Tentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval, yaitu f(a) dan f(b).
3. Bandingkan nilai-nilai yang diperoleh pada langkah 1 dan 2. Nilai terbesar yang diperoleh adalah nilai maksimum fungsi f(x) dan nilai terkecil yang diperoleh adalah nilai minimum fungsi f(x).

Contoh 1
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f\left(x\right)=x^3-3x+1$ pada interval [−2, 3]

Jawab :
f '(x) = 3x² − 3

f '(x) = 0
3x² − 3 = 0
3(x² − 1) = 0
3(x + 1)(x − 1) = 0
x = −1 atau x = 1

Nilai stasioner :
f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 1 = 3
f(1) = (1)³ − 3(1) + 1 = −1

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
f(−2) = (−2)³ − 3(−2) + 1 = −1
f(3) = (3)³ − 3(3) + 1 = 19

Diperoleh :
Nilai maksimum : 19
Nilai minimum : −1


Contoh 2
Jika pada interval [1, 3] fungsi $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2$ mencapai nilai maksimum di $x=p$ dan nilai minimum di $x=q$, tentukan nilai $p+q$ !

Jawab :
f '(x) = −x² + 2x

f '(x) = 0
−x² + 2x = 0
x (−x + 2) = 0
x = 0 atau x = 2

Nilai stasioner untuk x = 0 tidak perlu dicari karena berada diluar interval $[1,3]$
f(2) = $-\frac{1}{3}$(2)³ + (2)² = $\frac{4}{3}$

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
f(1) = $-\frac{1}{3}$(1)³ + (1)² = $\frac{2}{3}$
f(3) = $-\frac{1}{3}$(3)³ + (3)² = 0

Nilai maksimum = $\frac{4}{3}$ diperoleh pada saat $x=p=2$.
Nilai minimum = 0 diperoleh pada saat $x=q=3$

Jadi, p + q = 5


Contoh 3
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $f\left(x\right)=sinx+cosx$ pada interval $0\le x\le \pi$ !

Jawab :
f '(x) = cos x − sin x

f '(x) = 0
cos x − sin x = 0
cos x  = sin x
$\frac{sinx}{cosx}$ = 1
tan x = 1
⇒ x = $\frac{1}{4}$π

f($\frac{1}{4}$π) = sin $\frac{1}{4}$π + cos $\frac{1}{4}$π
f($\frac{1}{4}$π) = $\frac{1}{2}$√2 + $\frac{1}{2}$√2
f($\frac{1}{4}$π) = √2

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
f(0) = sin 0 + cos 0
f(0) = 0 + 1
f(0) = 1

f(π) = sin π + cos π
f(π) = 0 + (−1) = −1
f(π) = −1

Diperoleh :
Nilai maksimum : √2
Nilai minimum : −1

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post