Integral Substitusi

 

Integral dengan teknik/metode substitusi digunakan ketika proses pengintegralan tidak bisa diselesaikan dengan rumus-rumus dasar integral, atau seandainya bisa diselesaikan namun akan memerlukan proses yang cukup panjang.

Dalam pengintegralan dengan metode substitusi, tentunya kita harus sudah menguasai konsep-konsep turunan, dimana $\frac{du}{dx}$ adalah turunan u terhadap x..
Misalkan u = 2x + 1, turunan u terhadap x ditulis :
$\frac{du}{dx}$ = 2  ⇔  du = 2 dx

Untuk memahami proses pengintegralan dengan metode substitusi, simaklah contoh-contoh berikut.

Contoh 1
∫ x² (x³ + 5)⁷ dx = ...

Jawab :
Misalkan : u = x³ + 5
$\frac{du}{dx}$ = 3x²   ⇔   $\frac{du}{3}$ = x² dx

$\begin{array}{cc}\int x^2(x^3+5{)}^{7}dx& =\int (x^3+5{)}^7{x}^{2}dx\\ & =\int u^7\frac{du}{3}\\ & =\frac{1}{3}\int u^{7}du\\ & =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}{u}^8+C\\ & =\frac{1}{24}{u}^8+C\\ & =\frac{1}{24}(x^3+5{)}^8+C\end{array}$


Contoh 2
$\int \frac{4x}{\sqrt{x^2-2}}$ dx = ...

Jawab :
Misalkan : u = x² - 2
$\frac{du}{dx}$ = 2x   ⇔   $\frac{du}{2}$ = x dx

$\begin{array}{cc}\int \frac{4x}{\sqrt{x^2-2}}dx& =4\int \frac{1}{\sqrt{x^2-2}}\cdot xdx\\ & =4\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \frac{du}{2}\\ & =\frac{4}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}du\\ & =2\cdot 2u^{\frac{1}{2}}+C\\ & =4\sqrt{u}+C\\ & =4\sqrt{x^2-2}+C\end{array}$


Contoh 3
 ∫ x(x + 4)⁷ dx = ...

Jawab :
Misalkan : u = x + 4  maka  x = u - 4
$\frac{du}{dx}$ = 1   ⇔   du = dx

$\begin{array}{cc}\int x(x+4{)}^{7}dx& =\int (u-4)u^{7}du\\ & =\int \left(u^8-4u^7\right)du\\ & =\frac{1}{9}{u}^9-\frac{1}{2}{u}^8+C\\ & =\frac{1}{18}\left(2u^9-9u^8\right)+C\\ & =\frac{1}{18}\left(2u-9\right)u^8+C\\ & =\frac{1}{18}\left(2(x+4)-9\right)(x+4{)}^8+C\\ & =\frac{1}{18}(2x-1)(x+4{)}^8+C\end{array}$


Untuk fungsi-fungsi trigonometri, langkah-langkah pengintegralannya sama saja dengan fungsi aljabar diatas, tetapi untuk kasus-kasus tertentu kita harus mengubah terlebih dahulu fungsi yang akan diintegralkan sebelum melakukan pemisalan.

Contoh 4
∫ cos⁴x sin x dx = ...

Jawab :
Misalkan : u = cos x
$\frac{du}{dx}$ = -sin x   ⇔   -du = sin x dx

$\begin{array}{cc}\int co{s}^{4}xsinxdx& =\int u^4(-du)\\ & =-\int u^{4}du\\ & =-\frac{1}{5}{u}^5+C\\ & =-\frac{1}{5}co{s}^{5}x+C\end{array}$


Contoh 5
∫ cos⁵x dx = ...

Jawab :
$\begin{array}{cc}\int co{s}^{5}xdx& =\int {\left(co{s}^{2}x\right)}^{2}cosxdx\\ & =\int {\left(1-si{n}^{2}x\right)}^{2}cosxdx\\ & =\int \left(1-2si{n}^{2}x+si{n}^{4}x\right)cosxdx\end{array}$

Misalkan : u = sin x
$\frac{du}{dx}$ = cos x   ⇔   du = cos x dx

$\begin{array}{cc}\int co{s}^{5}xdx& =\int \left(1-2si{n}^{2}x+si{n}^{4}x\right)cosxdx\\ & =\int \left(1-2u^2+u^4\right)du\\ & =u-\frac{2}{3}{u}^3+\frac{1}{5}{u}^5+C\\ & =sinx-\frac{2}{3}si{n}^{3}x+\frac{1}{5}si{n}^{5}x+C\end{array}$

Latihan Soal Integral Substitusi

Berikut beberapa contoh soal yang dapat dijadikan latihan untuk menambah pemahaman menyangkut integral dengan metode/teknik substitusi.

Latihan 1
Selesaikan integral berikut!

a.  $\int x\sqrt{3x^2+1}dx=...$

Jawab :
Misalkan : u = 3x² + 1
$\frac{du}{dx}$ = 6x   ⇔   $\frac{du}{6}$ = x dx

$\begin{array}{cc}\int x\sqrt{3x^2+1}dx& =\int (3x^2+1{)}^{\frac{1}{2}}xdx\\ & =\int u^{\frac{1}{2}}\frac{du}{6}\\ & =\frac{1}{6}\int u^{\frac{1}{2}}du\\ & =\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}}+C\\ & =\frac{1}{9}u\cdot u^{\frac{1}{2}}+C\\ & =\frac{1}{9}u\sqrt{u}+C\\ & =\frac{1}{9}(3x^2+1)\sqrt{3x^2+1}+C\end{array}$


b.  $\int \frac{4x+2}{\sqrt{x^2+x-1}}dx=...$

Jawab :
Misalkan : u = x² + x - 1
$\frac{du}{dx}$ = 2x + 1   ⇔   du = (2x + 1) dx

$\begin{array}{cc}\int \frac{4x+2}{\sqrt{x^2+x-1}}dx& =2\int \frac{1}{\sqrt{x^2+x-1}}(2x+1)dx\\ & =2\int \frac{1}{\sqrt{u}}du\\ & =2\int u^{-\frac{1}{2}}du\\ & =2\cdot 2u^{\frac{1}{2}}+C\\ & =4\sqrt{u}+C\\ & =4\sqrt{x^2+x-1}+C\end{array}$


c.  $\int x{\left(x-1\right)}^{3}dx=...$

Jawab :
Misalkan : u = x - 1  maka  x = u + 1
$\frac{du}{dx}$ = 1   ⇔   du = dx

$\begin{array}{cc}\int x(x-1{)}^{3}dx& =\int (u+1)u^{3}du\\ & =\int (u^4+u^3)du\\ & =\frac{1}{5}{u}^5+\frac{1}{4}{u}^4+C\\ & =\frac{1}{20}(4u^5+5u^4)+C\\ & =\frac{1}{20}(4u+5)u^4+C\\ & =\frac{1}{20}\left(4\right(x-1)+5)(x-1{)}^4+C\\ & =\frac{1}{20}(4x+1)(x-1{)}^4+C\end{array}$


Latihan 2
Tunjukkan bahwa :

a.  $\int si{n}^{n}axcosaxdx=\frac{1}{a(n+1)}si{n}^{n+1}x+C$

Jawab :
Misalkan : u = sin ax
$\frac{du}{dx}$ = a cos ax   ⇔   $\frac{du}{a}$ = cos ax dx

$\begin{array}{cc}\int si{n}^{n}axcosaxdx& =\int u^n\cdot \frac{du}{a}\\ & =\frac{1}{a}\int u^{n}du\\ & =\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{n+1}{u}^{n+1}+C\\ & =\frac{1}{a(n+1)}si{n}^{n+1}ax+C\end{array}$


b.  $\int co{s}^{n}axsinaxdx=-\frac{1}{a(n+1)}co{s}^{n+1}x+C$

Jawab :
Misalkan : u = cos ax
$\frac{du}{dx}$ = -a sin ax   ⇔   $-\frac{du}{a}$ = sin ax dx

$\begin{array}{cc}\int co{s}^{n}axsinaxdx& =\int u^n\cdot \left(-\frac{du}{a}\right)\\ & =-\frac{1}{a}\int u^{n}du\\ & =-\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{n+1}{u}^{n+1}+C\\ & =-\frac{1}{a(n+1)}co{s}^{n+1}ax+C\end{array}$


Latihan 3
Dengan menggunakan rumus pada contoh 2, selesaikan integral berikut!

a.  ∫ sin⁴3x cos 3x dx = ...

Jawab :
∫ sin⁴3x cos 3x dx = $\frac{1}{3(4+1)}$sin⁴⁺¹3x + C
∫ sin⁴3x cos 3x dx = $\frac{1}{15}$sin⁵3x + C


b.  ∫ cos⁵2x sin 2x dx = ...

Jawab :
∫ cos⁵2x sin 2x dx = -$\frac{1}{2(5+1)}$cos⁵⁺¹2x + C
∫ cos⁵2x sin 2x dx = -$\frac{1}{12}$cos⁶2x + C

Latihan 4
Selesaikan integral berikut!

a.  ∫ sin²x cos³x dx = ...

Jawab :
Misalkan : u = sin x
$\frac{du}{dx}$ = cos x   ⇔   du = cos x dx

∫ sin²x cos³x dx = ∫ sin²x cos²x cos x dx
∫ sin²x cos³x dx = ∫ sin²x (1 - sin²x) cos x dx
∫ sin²x cos³x dx = ∫ u² (1 - u²) du
∫ sin²x cos³x dx = ∫ (u² - u⁴) du
∫ sin²x cos³x dx = $\frac{1}{3}$u³ - $\frac{1}{5}$u⁵ + C
∫ sin²x cos³x dx = $\frac{1}{3}$sin³x - $\frac{1}{5}$sin⁵x + C


b.  ∫ tan x sec³x dx = ...

Jawab :
Misalkan : u = sec x
$\frac{du}{dx}$ = sec x tan x   ⇔   du = sec x tan x dx

 ∫ tan x sec³x dx =  ∫ sec²x sec x tan x dx
 ∫ tan x sec³x dx =  ∫ u² du
 ∫ tan x sec³x dx =  $\frac{1}{3}$u³ + C
 ∫ tan x sec³x dx =  $\frac{1}{3}$sec³x + C

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post