Integral Tertentu

 Jika f kontinu pada interval [a, b] dan F adalah antiturunan dari f pada interval tersebut, maka :

$${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$

Contoh :
1.  ${\int }_1^3(2x-1)dx$

     $={\left[x^2-x\right]}_1^3$
     $=\left(3^2-3\right)-\left(1^2-1\right)$
     $=6-0$
     $=6$

2.  ${\int }_0^1\left(x^2-3x\right)dx$
     $={\left[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2\right]}_0^1$
     $=\left(\frac{1}{3}(1{)}^3-\frac{3}{2}(1{)}^2\right)-\left(\frac{1}{3}(0{)}^3-\frac{3}{2}(0{)}^2\right)$
     $=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}$
     $=-\frac{7}{6}$

Sifat-Sifat Integral Tertentu

1.  ${\int }_a^{b}kf\left(x\right)dx=k{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

2.  ${\int }_a^b\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\pm {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx$

3.  ${\int }_a^{a}f\left(x\right)dx=0$

4.  ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$

5.  ${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_b^{c}f\left(x\right)dx$
     dengan : a < b < c



Berikut contoh-contoh latihan soal integral tertentu :

Contoh 1
Jika $f\left(x\right)=3x^2-4x$ dan $g\left(x\right)=2x+1$, tentukan nilai dari :

a.  ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx$

     Jawab :
     $\Rightarrow {\int }_1^3\left(3x^2-4x\right)dx$
     $={\left[x^3-2x^2\right]}_1^3$
     $=\left((3{)}^3-2(3{)}^2\right)-\left((1{)}^3-2(1{)}^2\right)$
     $=9-(-1)$
     $=10$

b.  ${\int }_{-2}^{1}g\left(x\right)dx$

     Jawab :
     $\Rightarrow {\int }_{-2}^1(2x+1)dx$
     $={\left[x^2+x\right]}_{-2}^1$
     $=\left(1^2+1\right)-\left((-2{)}^2+(-2)\right)$
     $=2-2$
     $=0$

c.  ${\int }_0^1\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$

Jawab :
$\Rightarrow {\int }_0^1\left(\left(3x^2-4x\right)-(2x+1)\right)dx$
$\Rightarrow {\int }_0^1\left(3x^2-6x-1\right)dx$
$={\left[x^3-3x^2-x\right]}_0^1$
$=\left(1^3-3(1{)}^2-1\right)-\left(0^3-3(0{)}^2-0\right)$
$=-3-0$
$=-3$


Contoh 2
Tentukan nilai a dari pengintegralan berikut !

a.  ${\int }_a^{a+1}\left(2x+1\right)dx=4$

     Jawab :
     $\Rightarrow {\left[x^2+x\right]}_a^{a+1}=4$
     $\Rightarrow \left[{\left(a+1\right)}^2+\left(a+1\right)\right]-\left[a^2+a\right]=4$
     $\Rightarrow a^2+2a+1+a+1-a^2-a=4$
     $\Rightarrow 2a+2=4$
     $\Rightarrow 2a=2$
     $\Rightarrow a=1$


b.  ${\int }_1^a\left(2x-2\right)dx=2a+1;a>0$

     Jawab :
     $\Rightarrow {\left[x^2-2x\right]}_1^a=2a+1$
     $\Rightarrow \left(a^2-2a\right)-\left(1^2-2.1\right)=2a+1$
     $\Rightarrow a^2-2a+1=2a+1$
     $\Rightarrow a^2-4a=0$
     $\Rightarrow a\left(a-4\right)=0$
     $\Rightarrow a=0ataua=4$
     Karena a > 0, maka $a=4$


c.  ${\int }_a^1\left(3x^2+2x\right)dx=-10;a\in R$

     Jawab ;
     $\Rightarrow {\left[x^3+x^2\right]}_a^1=-10$
     $\Rightarrow \left(1^3+1^2\right)-\left(a^3+a^2\right)=-10$
     $\Rightarrow 2-a^3-a^2=-10$
     $\Rightarrow a^3+a^2-12=0$

Nilai a yang mungkin adalah faktor dari 12, yaitu : ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Nilai a yang memenuhi adalah a = 2, karena :
$\Rightarrow 2^3+2^2-12=0$


Contoh 3
Nilai dari ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(2cos2x-sinx\right)dx$ adalah...

Jawab :
${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(2cos2x-sinx\right)dx$
$={\left[2\frac{1}{2}sin2x-(-cosx)\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}$
$={\left[sin2x+cosx\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}$
$=\left(sin2\left(\frac{\pi }{2}\right)+cos\left(\frac{\pi }{2}\right)\right)-\left(sin2\left(0\right)+cos0\right)$ $=\left(sin\pi +cos\left(\frac{\pi }{2}\right)\right)-\left(sin0+cos0\right)$
$=\left(0+0\right)-\left(0+1\right)$
$=-1$

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post