Jenis dan Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat

 

Jenis akar-akar persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0$  dapat ditentukan berdasarkan nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut.

Diskriminan persamaan kuadrat dilambangkan dengan D dan dirumuskan dengan :$$D=b^2-4ac$$1.  D ≥ 0 : akar real/nyata
2.  D > 0 : akar real berlainan
3.  D = 0 : akar real sama/kembar
4.  D < 0 : akar tidak real (imajiner)

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :

1.  Kedua akar positif
     D ≥ 0
     x₁ + x₂ > 0
     x₁ x₂ > 0

2.  Kedua akar negatif
     D ≥ 0
     x₁ + x₂ < 0
     x₁ x₂ > 0

3.  Kedua akar berlainan tanda
     D > 0
     x₁ x₂ < 0   

4.  Kedua akar bertanda sama
     D ≥ 0
     x₁ x₂ > 0

5.  Kedua akar saling berlawanan
     D > 0
     x₁ + x₂ = 0  (b = 0)
     x₁ x₂ < 0
   
6. Kedua akar saling berkebalikan
     D > 0
     x₁ x₂ = 1  (c = a)


Contoh 1
Jika persamaan kuadrat $x^2-6x+2p-1=0$ tidak mempunyai akar real, maka nilai p yang memenuhi adalah...

Jawab :
a = 1
b = −6
c = 2p − 1

Syarat PK tidak mempunyai akar real :
D < 0
b² − 4ac < 0
(−6)² − 4 . 1 . (2p − 1)  < 0
36 − 8p + 4 < 0
−8p < −40
p > 5

Contoh 2
Tentukan nilai m jika persamaan kuadrat $(m+1)x^2-8x+2=0$ mempunyai akar kembar!

Jawab :
a = m + 1
b = −8
c = 2

Syarat PK mempunyai akar kembar :
D = 0
b² − 4ac = 0
(−8)² − 4 . (m + 1) . 2 = 0
64 − 8m − 8 = 0
56 − 8m = 0
−8m = −56
m = 7

Contoh 3
Jika persamaan kuadrat $x^2+(k-1)x+1=0$ mempunyai akar-akar real dan berbeda, maka nilai k yang memenuhi adalah...

Jawab :
a = 1
b = k − 1
c = 1

Syarat akar real dan berbeda :
D > 0
b² − 4ac > 0
(k − 1)² − 4 . 1 . 1 > 0
k² − 2k  + 1 − 4  > 0
k² − 2k − 3  > 0

Pembuat nol :
k² − 2k − 3  = 0
(k + 1)(k − 3) = 0
k = −1 atau k = 3

k < −1 atau k > 3


Contoh 4
Jika akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+(m-3)x+1-m^2=0$ saling berlawanan, tentukan nilai dari $x{{}_1}^2+x{{}_2}^2$!

Jawab :
a = 2
b = m − 3
c = 1 − m²

Kedua akar saling berlawanan, maka :
x₁ + x₂ = 0
$-\frac{b}{a}$ = 0
b = 0
m − 3 = 0
m = 3

x₁ x₂ = $\frac{c}{a}$
x₁ x₂ = $\frac{1-m^2}{2}$
x₁ x₂ = $\frac{1-3^2}{2}$
x₁ x₂ = −4

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁ x₂
x₁² + x₂² = (0)² − 2(−4)
x₁² + x₂² = 8


Contoh 5
Diketahui  akar-akar persamaan kuadrat $(2p+1)x^2+25x+p^2-14=0$ saling berkebalikan. Untuk p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah...

Jawab :
a = 2p + 1
b = 25
c = p² − 14

Kedua akar saling berkebalikan maka :
x₁ x₂ = 1
$\frac{c}{a}$ = 1
c = a
p² − 14 = 2p + 1
p² − 2p − 15 = 0
(p − 5)(p + 3) = 0
p = 5 atau p = −3

Karena p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah p = 5

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post