Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

 

Persamaan kuadrat adalah suatu bentuk persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Persamaan kuadrat dengan variabel x dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut :$$a{x}^2+bx+c=0$$dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0

Penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan kuadrat tersebut bernilai benar.

Sebagai contoh, akar-akar dari persamaan kuadrat  x² - 4x + 3 = 0 adalah 1 atau 3, karena
(1)² - 4(1) + 3 = 0    (benar)
(3)² - 4(3) + 3 = 0    (benar)

Yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana mendapatkan akar-akar tersebut? Hal inilah yang akan kita bahas pada materi ini.

Secara umum ada 3 cara yang digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu :

1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan kuadrat
3. Rumus kuadrat

Memfaktorkan

Faktor dari $a{x}^2+bx+c=0$ dengan a = 1 dapat dinyatakan dalam bentuk :$$\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$$Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :

    p + q = b
    p × q = c

Setelah difaktorkan, langkah selanjutnya adalah menyatakan faktor tersebut menjadi sama dengan nol$$x+p=0ataux+q=0$$Nilai-nilai x yang diperoleh dari persamaan diatas inilah yang kita sebut dengan akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh 1
Tentukan akar-akar dari x² + 5x + 6 = 0

Jawab :
a = 1 ; b = 5 ; c = 6

p + q = 5
p × q = 6

Artinya, kita akan mencari dua buah bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 5.

Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan 2, karena 3 × 2 = 6 dan 3 + 2 = 5

Dengan demikian, faktornya adalah
(x + 3)(x + 2) = 0

dengan akar-akarnya
x + 3 = 0 atau x + 2 = 0
x = -3 atau x = -2


Contoh 2
Tentukan akar-akar dari x² + 2x − 3 = 0

Jawab :
p + q = 2
p × q = -3

Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −1.  Dengan demikian, faktornya adalah
(x + 3)(x − 1) = 0

dengan akar-akarnya
x + 3 = 0 atau x − 1 = 0
x  = -3 atau x = 1

Jika contoh-contoh diatas telah dipahami dan dikuasai dengan baik, penyelesaian dari persamaan kuadrat dapat kita tulis lebih singkat seperti contoh berikut.

Contoh 3
Tentukan akar-akar dari x² − 8x + 15 = 0

Jawab :
x² − 8x + 15 = 0
(x − 3)(x − 5) = 0  (faktor)
x = 3 atau x = 5     (akar)


Faktor dari $a{x}^2+bx+c=0$ dengan a > 1 dapat dinyatakan dalam bentuk :$$\frac{\left(ax+p\right)\left(ax+q\right)}{a}=0$$ Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :
    p + q = b
    p × q = ac

Contoh 4
Tentukan akar-akar dari 2x² + 5x − 3 = 0

Jawab :
a = 2 ; b = 5 ; c = −3

p + q = 5
p × q = 2 (−3) = −6

Nilai p dan q yang memenuhi adalah 6 dan −1. Dengan demikian, faktornya adalah $$\frac{\left(2x+6\right)\left(2x-1\right)}{2}=0$$$$\frac{2(x+3)(2x-1)}{2}=0$$$$(x+3)(2x-1)=0$$

dengan akar-akarnya$$x+3=0atau2x-1=0$$$$x=-3ataux=\frac{1}{2}$$

Contoh 5
Tentukan akar-akar dari 6x² − x − 2 = 0

Jawab :
p + q = −1
p × q = −12
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −4.

Faktornya adalah $$\frac{\left(6x+3\right)\left(6x-4\right)}{6}=0$$$$\frac{3(2x+1)2(3x-2)}{6}=0$$$$\left(2x+1\right)\left(3x-2\right)=0$$
Akar-akarnya adalah$$2x+1=0atau3x-2=0$$$$x=-\frac{1}{2}ataux=\frac{2}{3}$$

Melengkapkan Kuadrat

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat merupakan salah satu alternatif jika akar-akar persamaan kuadrat memuat bentuk akar (irasional) sehingga sulit untuk difaktorkan.

Melengkapkan kuadrat dilakukan dengan cara mengubah salah satu ruas menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)².

Bentuk diatas dapat dijabarkan menjadi
     (x + p)² = x² + 2px + p²

dengan a = 1 , b = 2p dan c = p²

Karena b = 2p, maka p = $\frac{b}{2}$. Akibatnya, persamaan diatas dapat kita tulis menjadi

     (x + $\frac{b}{2}$)² = x² + bx + ($\frac{b}{2}$)²     (*)

Persamaan inilah yang nantinya kita jadikan acuan dalam mengubah bentuk persamaan kuadrat ke dalam bentuk kuadrat sempurna.

Untuk lebih jelasnya, simak contoh-contoh berikut!

Contoh 6
Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0

Penyelesaian :
Pindahkan konstanta c ke ruas kanan
x² + 4x  = −1

Tambahkan kedua ruas dengan ($\frac{b}{2}$)² 
x² + 4x + ($\frac{4}{2}$)²  = −1 + ($\frac{4}{2}$)²
x² + 4x + 4 = 3

Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan mengacu pada (*) sehingga diperoleh
(x + 2)² = 3

Akarkan kedua ruas sehingga diperoleh
x + 2 =  ±√3
x = -2 ±√3

Jadi, akar-akarnya adalah
x = −2 + √3 atau x = −2 − √3


Apabila a ≠ 1, langkah awal yang harus dilakukan adalah membagi atau mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan sehingga diperoleh a = 1.

Contoh 7
Tentukan akar-akar dari 4x² + 4x − 7 = 0

Penyelesaian :
Bagi kedua ruas dengan 4
x² + x − $\frac{7}{4}$ = 0

Pada tahap ini, langkah-langkahnya sama dengan contoh sebelumnya.
x² + x = $\frac{7}{4}$

x² + x + ($\frac{1}{2}$)² = $\frac{7}{4}$ + ($\frac{1}{2}$)²

x² + x + $\frac{1}{4}$ = 2

(x + $\frac{1}{2}$)² = 2

x + $\frac{1}{2}$ = ±√2
x = −$\frac{1}{2}$ ±√2

Jadi, akar-akarnya adalah
x = −$\frac{1}{2}$ + √2 atau x  = −$\frac{1}{2}$ − √2


Contoh 8
Tentukan akar-akar dari $-\frac{1}{2}$x² + x + 1 = 0

Penyelesaian :
Kalikan kedua ruas dengan -2
x² − 2x − 2 = 0

x² − 2x = 2
x² − 2x + ($\frac{-2}{2}$)² = 2 + ($\frac{-2}{2}$)²
x² − 2x + 1 = 3

(x − 1)² = 3

x − 1 = ±√3
x = 1 ±√3

Jadi, akar-akarnya adalah

x = 1 + √3 atau x = 1 − √3

Rumus Kuadrat

Sama halnya dengan melengkapkan kuadrat, rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc ini juga dapat menjadi alternatif dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dimana akar-akarnya memuat bentuk akar (irasional). Atau untuk persamaan kuadrat yang sebenarnya bisa difaktorkan, tetapi sulit untuk difaktorkan karena memuat nilai-nilai a, b, c yang cukup besar.

Dengan mengubah bentuk $a{x}^2+bx+c=0$ ke dalam bentuk kuadrat sempurna akan diperoleh rumus kuadrat sebagai berikut :$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Contoh 9

Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0
    Jawab :
    a = 1
    b = 4
    c = 1

    x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-\mathrm{4.1.1}}}{2.1}$
    x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{12}}{2}$
    x_1,2 = $\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}$

    x_1,2 = $-2\pm \sqrt{3}$

    x₁ = $-2+\sqrt{3}$
    x₂ = $-2-\sqrt{3}$


Contoh 10
Tentukan akar-akar dari x² − 5x − 104 = 0
    Jawab :
    a = 1
    b = −5
    c = −104

    x_1,2 = $\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-\mathrm{4.1.}(-104)}}{2.1}$
    x_1,2 = $\frac{5\pm \sqrt{441}}{2}$
    x_1,2 = $\frac{5\pm 21}{2}$

    x₁ = $\frac{5+21}{2}$ = 13
    x₂ = $\frac{5-21}{2}$ = −8


Materi menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan pada hampir semua materi matematika SMA, terutama metode pemfaktoran. Untuk itu sangat direkomendasikan untuk dipahami dan dikuasai dengan baik.

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post