Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
29 April 2021
Jika akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 adalah α dan β, maka jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut dapat ditentukan dengan rumus :α+β=−baαβ=ca
Untuk selisih akar-akar persamaan kuadrat, dirumuskan sebagai berikut :
α−β=√Da;α>βα−β=−√Da;α<βdengan D adalah diskriminan persamaan kuadrat, dirumuskan dengan :
Contoh 1
Akar-akar persamaan kuadrat x2−3x+2=0 adalah α dan β. Untuk α > β, tentukan nilai dari :
a. α + β
b. αβ
c. α − β
d. 1α + 1β
e. α2 + β2
f. α2 − β2
g. αβ + βα
h. α3 + β3
i. α3 − β3
Jawab :
a = 1
b = −3
c = 2
a. α + β = −ba
a. α + β = −(−3)1
a. α + β = 3
b. αβ = ca
b. αβ = 21
b. αβ = 2
c. α − β = √b2−4aca
c. α − β = √(−3)2−4.1.21
c. α − β = 1
d. 1α + 1β = α+βαβ
d. 1α + 1β = 32
e. α2 + β2 = (α + β)2 − 2αβ
e. α2 + β2 = (3)2 − 2.2
e. α2 + β2 = 5
f. α2 − β2 = (α + β)(α − β)
f. α2 − β2 = (3)(1)
f. α2 − β2 = 3
g. αβ + βα = α2+β2αβ
g. αβ + βα = 52
i. α3 − β3 = (α − β)3 + 3αβ(α −β)
i. α3 − β3 = (1)3 + 3.2(1)
i. α3 − β3 = 7
Contoh 2
Akar-akar persamaan kuadrat x2−(m+2)x+8=0 adalah α dan β dengan α, β > 0. Jika α=2β, maka nilai m adalah...
Jawab :
a = 1
b = −(m + 2)
c = 8
α + β = −ba
α + β = −−(m+2)1
α + β = m + 2 .........................(1)
αβ = ca
αβ = 81
αβ = 8 .....................................(2)
Substitusi α = 2β ke (2)
(2β)β = 8
β2 = 4
β = ±2
Karena β > 0, maka β = 2
Substitusi α = 2β ke (1)
(2β) + β = m + 2
3β = m + 2
3.2 = m + 2
⇒ m = 4
Contoh 3
Akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 adalah α dan β. Jika α=nβ, tunjukkan bahwa nb2=ac(n+1)2 !
Jawab :
α + β = −ba .......................(1)
αβ = ca ...............................(2)
Substitusi α = nβ ke (1)
(nβ) + β = −ba
β(n + 1) = −ba
β = −ba(n+1) .................... (3)
Substitusi α = nβ ke (2)
(nβ)β = ca
nβ2 = ca
β2 = can .............................(4)
Substitusi (3) ke (4)
(−ba(n+1))2=can
b2a2(n+1)2=can
anb2 = a2c(n + 1)2
nb2 = ac(n + 1)2
Contoh 4
Akar-akar persamaan kuadrat x2+(k−1)x+3=0 adalah α dan β. Jika α=3β dan k > 0, maka nilai k yang memenuhi adalah...
Untuk selisih akar-akar persamaan kuadrat, dirumuskan sebagai berikut :
α−β=√Da;α>βα−β=−√Da;α<βdengan D adalah diskriminan persamaan kuadrat, dirumuskan dengan :
D=b2−4ac
Contoh 1
Akar-akar persamaan kuadrat x2−3x+2=0 adalah α dan β. Untuk α > β, tentukan nilai dari :
a. α + β
b. αβ
c. α − β
d. 1α + 1β
e. α2 + β2
f. α2 − β2
g. αβ + βα
h. α3 + β3
i. α3 − β3
Jawab :
a = 1
b = −3
c = 2
a. α + β = −ba
a. α + β = −(−3)1
a. α + β = 3
b. αβ = ca
b. αβ = 21
b. αβ = 2
c. α − β = √b2−4aca
c. α − β = √(−3)2−4.1.21
c. α − β = 1
d. 1α + 1β = α+βαβ
d. 1α + 1β = 32
e. α2 + β2 = (α + β)2 − 2αβ
e. α2 + β2 = (3)2 − 2.2
e. α2 + β2 = 5
f. α2 − β2 = (α + β)(α − β)
f. α2 − β2 = (3)(1)
f. α2 − β2 = 3
g. αβ + βα = α2+β2αβ
g. αβ + βα = 52
h. α3 + β3 = (α + β)3 − 3αβ(α + β)
h. α3 + β3 = (3)3 − 3.2(3)
h. α3 + β3 = 9h. α3 + β3 = (3)3 − 3.2(3)
i. α3 − β3 = (α − β)3 + 3αβ(α −β)
i. α3 − β3 = (1)3 + 3.2(1)
i. α3 − β3 = 7
Contoh 2
Akar-akar persamaan kuadrat x2−(m+2)x+8=0 adalah α dan β dengan α, β > 0. Jika α=2β, maka nilai m adalah...
Jawab :
a = 1
b = −(m + 2)
c = 8
α + β = −ba
α + β = −−(m+2)1
α + β = m + 2 .........................(1)
αβ = ca
αβ = 81
αβ = 8 .....................................(2)
Substitusi α = 2β ke (2)
(2β)β = 8
β2 = 4
β = ±2
Karena β > 0, maka β = 2
Substitusi α = 2β ke (1)
(2β) + β = m + 2
3β = m + 2
3.2 = m + 2
⇒ m = 4
Contoh 3
Akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 adalah α dan β. Jika α=nβ, tunjukkan bahwa nb2=ac(n+1)2 !
Jawab :
α + β = −ba .......................(1)
αβ = ca ...............................(2)
Substitusi α = nβ ke (1)
(nβ) + β = −ba
β(n + 1) = −ba
β = −ba(n+1) .................... (3)
Substitusi α = nβ ke (2)
(nβ)β = ca
nβ2 = ca
β2 = can .............................(4)
Substitusi (3) ke (4)
(−ba(n+1))2=can
b2a2(n+1)2=can
anb2 = a2c(n + 1)2
nb2 = ac(n + 1)2
Contoh 4
Akar-akar persamaan kuadrat x2+(k−1)x+3=0 adalah α dan β. Jika α=3β dan k > 0, maka nilai k yang memenuhi adalah...
Jawab :
a = 1
b = k − 1
c = 3
α = 3β ⇒ n = 3
nb2 = ac(n + 1)2
3 (k − 1)2 = 1.3 (3 + 1)2
(k − 1)2 = 16
k − 1 = ±4
k = 1 ± 4
k = 1 + 4 atau k = 1 − 4
k = 5 atau k = −3
Karena k > 0, maka k = 5
a = 1
b = k − 1
c = 3
α = 3β ⇒ n = 3
nb2 = ac(n + 1)2
3 (k − 1)2 = 1.3 (3 + 1)2
(k − 1)2 = 16
k − 1 = ±4
k = 1 ± 4
k = 1 + 4 atau k = 1 − 4
k = 5 atau k = −3
Karena k > 0, maka k = 5
sumber: https://smatika.blogspot.com/