Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

 

Jika akar-akar persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0$ adalah α dan β, maka jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut dapat ditentukan dengan rumus :$$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$$$$\alpha \beta =\frac{c}{a}$$
Untuk selisih akar-akar persamaan kuadrat, dirumuskan sebagai berikut :
$$\alpha -\beta =\frac{\sqrt{D}}{a};\alpha >\beta$$$$\alpha -\beta =-\frac{\sqrt{D}}{a};\alpha <\beta$$dengan D adalah diskriminan persamaan kuadrat, dirumuskan dengan :

$$D=b^2-4ac$$
Contoh 1
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2-3x+2=0$ adalah α dan β. Untuk α > β, tentukan nilai dari :
a.  α + β
b.  αβ
c.  α − β
d.  $\frac{1}{\alpha }$ + $\frac{1}{\beta }$
e.  α² + β²
f.  α² − β²
g.  $\frac{\alpha }{\beta }$ + $\frac{\beta }{\alpha }$
h.  α³ + β³
i.  α³ − β³

Jawab :
a = 1
b = −3
c = 2

a.  α + β = $-\frac{b}{a}$
a.  α + β = $-\frac{(-3)}{1}$
a.  α + β = 3

b.  αβ = $\frac{c}{a}$
b.  αβ = $\frac{2}{1}$
b.  αβ = 2

c.  α − β = $\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
c.  α − β = $\frac{\sqrt{(-3{)}^2-\mathrm{4.1.2}}}{1}$
c.  α − β = 1

d.  $\frac{1}{\alpha }$ + $\frac{1}{\beta }$ = $\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }$
d.  $\frac{1}{\alpha }$ + $\frac{1}{\beta }$ = $\frac{3}{2}$

e.  α² + β² = (α + β)² − 2αβ
e.  α² + β² = (3)² − 2.2
e.  α² + β² = 5

f.  α² − β² = (α + β)(α − β)
f.  α² − β² = (3)(1)
f.  α² − β² = 3

g.  $\frac{\alpha }{\beta }$ + $\frac{\beta }{\alpha }$ = $\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha \beta }$
g.  $\frac{\alpha }{\beta }$ + $\frac{\beta }{\alpha }$ = $\frac{5}{2}$

h. α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β)
h. α³ + β³ = (3)³ − 3.2(3)

h. α³ + β³ = 9

i.  α³ − β³ = (α − β)³ + 3αβ(α −β)
i.  α³ − β³ = (1)³ + 3.2(1)
i.  α³ − β³ = 7

Contoh 2
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2-(m+2)x+8=0$ adalah α dan β dengan α, β > 0. Jika $\alpha =2\beta$, maka nilai m adalah...

Jawab :
a = 1
b = −(m + 2)
c = 8

α + β = $-\frac{b}{a}$
α + β = $-\frac{-(m+2)}{1}$
α + β = m + 2 .........................(1)

αβ = $\frac{c}{a}$
αβ = $\frac{8}{1}$
αβ = 8 .....................................(2)

Substitusi α = 2β ke (2)
(2β)β = 8
β² = 4
β = ±2
Karena β > 0, maka β = 2

Substitusi α = 2β ke (1)
(2β) + β = m + 2
3β = m + 2
3.2 = m + 2
⇒ m = 4


Contoh 3
Akar-akar persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0$ adalah α dan β. Jika $\alpha =n\beta$, tunjukkan bahwa $n{b}^2=ac(n+1{)}^2$ !

Jawab :
α + β = $-\frac{b}{a}$ .......................(1)
αβ = $\frac{c}{a}$ ...............................(2)

Substitusi α = nβ ke (1)
(nβ) + β = $-\frac{b}{a}$
β(n + 1) = $-\frac{b}{a}$
β = $-\frac{b}{a(n+1)}$ .................... (3)

Substitusi α = nβ ke (2)
(nβ)β = $\frac{c}{a}$
nβ² = $\frac{c}{a}$
β² = $\frac{c}{an}$ .............................(4)

Substitusi (3) ke (4)
${\left(\frac{-b}{a(n+1)}\right)}^2=\frac{c}{an}$
$\frac{b^2}{a^2(n+1{)}^2}=\frac{c}{an}$
anb² = a²c(n + 1)²
nb² = ac(n + 1)²


Contoh 4
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+(k-1)x+3=0$ adalah α dan β. Jika $\alpha =3\beta$ dan k > 0,  maka nilai k yang memenuhi adalah...

Jawab :
a = 1
b = k − 1
c = 3
α = 3β  ⇒ n = 3

nb² = ac(n + 1)²
3 (k − 1)² = 1.3 (3 + 1)²
(k − 1)² = 16
k − 1 = ±4
k = 1 ± 4

k = 1 + 4 atau k = 1 − 4
k = 5 atau k = −3

Karena k > 0, maka k = 5

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post