Pertidaksamaan Rasional atau Pecahan

 

Pertidaksamaan rasional adalah suatu bentuk pertidaksamaan yang memuat fungsi rasional, yaitu fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ dengan syarat g(x) ≠ 0.

Bentuk umum pertidaksamaan rasional :

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ > 0  atau  $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ ≥ 0  ; g(x) ≠ 0

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ < 0  atau  $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ ≤ 0  ; g(x) ≠ 0.

Berikut hal-hal yang tidak dibenarkan dalam menyederhanakan bentuk pertidaksamaan rasional karena akan merubah domain fungsi tersebut :

1. Kali silang$$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>c\text{/}\equiv f\left(x\right)>c.g\left(x\right)$$
2. Mencoret fungsi ataupun faktor yang sama pada pembilang dan penyebut$$\frac{f\left(x\right).g\left(x\right)}{g\left(x\right)}>c\text{/}\equiv f\left(x\right)>c$$

Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Nyatakan dalam bentuk umum.
2. Tentukan pembuat nol pada pembilang dan penyebut.
3. Tulis pembuat nol pada garis bilangan dan tentukan tanda untuk tiap-tiap interval pada garis bilangan.
4. Tentukan daerah penyelesaian. Untuk pertidaksamaan ">" atau "≥" daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda positif dan untuk pertidaksamaan  "<" atau "≤" daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda negaitf.
5. Dengan memperhatikan syarat bahwa penyebut tidak sama dengan nol, tulis himpunan penyelesaian yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.

Contoh 1

Tentukan HP dari $\frac{x-3}{x+1}$ ≥ 0

Jawab :
Pembuat nol :
x − 3 = 0  ⇒ x = 3
x + 1 = 0  ⇒ x = −1

Syarat :
x + 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ −1

Untuk interval x < −1, ambil x = −2 :
$\frac{-2-3}{-2+1}$ = 5 (+)

Untuk interval −1 < x ≤ 3, ambil x = 0 :
$\frac{0-3}{0+1}$ = −3 (−)

Untuk interval x > 3, ambil x = 4 :
$\frac{4-3}{4+1}$ = $\frac{1}{5}$ (+)

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {x < −1 atau x ≥ 3}

Contoh 2
Tentukan HP dari $\frac{2x-1}{4-x}$ > 0

Jawab :
Pembuat nol :
2x − 1 = 0  ⇒ x = $\frac{1}{2}$
4 − x = 0  ⇒ x = 4

Syarat :
4 − x ≠ 0  ⇒ x ≠ 4

Karena pertidaksamaan bertanda ">", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {$\frac{1}{2}$ < x < 4}

Contoh 3
Tentukan HP dari $\frac{x^2-2x+1}{x+2}<0$

Jawab :
$\frac{(x-1)(x-1)}{x+2}<0$

Pembuat nol :
(x − 1)(x − 1) = 0  ⇒ x = 1
x + 2 = 0  ⇒ x = −2

Syarat :
x + 2 ≠ 0  ⇒ x ≠ −2

Karena pertidaksamaan bertanda "<", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).

∴ HP = {x < −2}


Contoh 4

Tentukan HP dari $\frac{x-5}{x^2+6x+9}\le 0$

Jawab :

$\frac{x-5}{(x+3)(x+3)}\le 0$

Pembuat nol :
x − 5 = 0  ⇒ x = 5
(x + 3)(x + 3) = 0  ⇒ x = −3

Syarat :
(x + 3)(x + 3) ≠ 0  ⇒ x ≠ −3

Karena pertidaksamaan bertanda "≤", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).

∴ HP = {x < −3 atau −3 < x ≤ 5} atau
   HP = {x ≤ 5 dan x ≠ −3}


Dari contoh-contoh diatas kita dapat menyimpulkan sebagai berikut :

1. Pembuat nol pada penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong apapun tanda pertidaksamaan.
2. Tanda untuk tiap-tiap interval selalu berselang-seling positif dan negatif jika pertidaksamaan memuat faktor linier yang berbeda (contoh 1 dan 2).
3. Tanda untuk tiap-tiap interval menjadi tidak berselang-seling jika pertidaksamaan memuat faktor linier yang sama (contoh 3 dan 4).

Pertidaksamaan rasional yang memuat fungsi definit

Pada materi fungsi kuadrat kita mengenal adanya fungsi yang selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real (definit positif) dan fungsi yang selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real (definit negatif).

Fungsi definit positif dalam suatu pertidaksamaan rasional dapat diabaikan tanpa harus membalik tanda pertidaksamaan.

Contoh 5
Tentukan HP dari $\frac{x-4}{x^3+x}\le 0$

Jawab :
$\frac{x-4}{x(x^2+1)}\le 0$

x² + 1 merupakan fungsi definit positif, dapat dibuktikan dengan syarat definit positif yaitu : a > 0 dan D < 0.

Jadi, x² + 1 dapat diabaikan tanpa harus membalik tanda pertidaksamaan, sehingga pertidaksamaan diatas setara dengan :
$\frac{x-4}{x}\le 0$

Pembuat nol :
x − 4 = 0  ⇒ x = 4
x = 0

Syarat :
x ≠ 0

Karena pertidaksamaan bertanda "≤", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {0 < x ≤ 4}


Fungsi definit negatif dalam suatu pertidaksamaan rasional dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan harus diubah atau dibalik.

Contoh 6
Tentukan HP dari $\frac{-x^2+x-2}{x^2-4x+3}\le 0$

Jawab :
$\frac{-x^2+x-2}{(x-1)(x-3)}\le 0$

−x² + x − 2 merupakan fungsi definit negatif, dapat dibuktikan dengan syarat definit negatif yaitu : a < 0 dan D < 0.

Jadi, −x² + x − 2 dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan harus diubah atau dibalik, sehingga pertidaksamaan diatas setara dengan :
$\frac{1}{(x-1)(x-3)}\ge 0$

Pembuat nol :
(x − 1)(x − 3) = 0  ⇒ x = 1 atau x = 3

Syarat :
(x − 1)(x − 3) ≠ 0  ⇒ x ≠ 1 atau x ≠ 3

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < 1 atau x > 3}

Latihan Soal Pertidaksaman Rasional

Latihan 1
Tentukan HP dari $\frac{2x-1}{x+2}\ge 1$

Jawab :
⇔ $\frac{2x-1}{x+2}$ − 1 ≥ 0
⇔ $\frac{2x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}$ ≥ 0
⇔ $\frac{2x-1-x-2}{x+2}$ ≥ 0
⇔ $\frac{x-3}{x+2}$ ≥ 0

Pembuat nol :
x − 3 = 0  ⇒ x = 3
x + 2 = 0  ⇒ x = −2

Syarat :
x + 2 ≠ 0  ⇒ x ≠ −2

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < −2 atau x ≥ 3}


Latihan 2
Tentukan HP dari $2>\frac{5x}{x-4}$

Jawab :
Pertidaksamaan diatas dapat ditulis menjadi :
$\frac{5x}{x-4}$ < 2

⇔ $\frac{5x}{x-4}$ − 2 < 0
⇔ $\frac{5x}{x-4}-\frac{2(x-4)}{x-4}$ < 0
⇔ $\frac{5x-2x+8}{x-4}$ < 0
⇔ $\frac{3x+8}{x-4}$ < 0

Pembuat nol :
3x + 8 = 0  ⇒ x = $-\frac{8}{3}$
x − 4 = 0  ⇒ x = 4

Syarat :
x − 4 ≠ 0  ⇒ x ≠ 4

Karena pertidaksamaan bertanda "<", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {$-\frac{8}{3}$ < x < 4}


Latihan 3
Tentukan HP dari $\frac{1-3x}{2x-2}\le \frac{1}{2}$

Jawab :
⇔ $\frac{1-3x}{2x-2}-\frac{1}{2}$ ≤ 0
⇔ $\frac{1-3x}{2(x-1)}-\frac{1(x-1)}{2(x-1)}$ ≤ 0
⇔ $\frac{1-3x-x+1}{2(x-1)}$ ≤ 0
⇔ $\frac{2-4x}{2(x-1)}$ ≤ 0

Pembuat nol :
2 − 4x = 0  ⇒ x = $\frac{1}{2}$
x − 1 = 0  ⇒ x = 1

Syarat :
x − 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda "≤", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x ≤ $\frac{1}{2}$ atau x > 1}


Latihan 4
Tentukan HP dari $\frac{x^2+3x}{x+1}\ge 3$

Jawab :
⇔ $\frac{x^2+3x}{x+1}$ − 3 ≥ 0
⇔ $\frac{x^2+3x}{x+1}$ − $\frac{3(x+1)}{x+1}$ ≥ 0
⇔ $\frac{x^2+3x-3x-3}{x+1}$ ≥ 0
⇔ $\frac{x^2-3}{x+1}$ ≥ 0
⇔ $\frac{(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{x+1}$ ≥ 0


Pembuat nol :
(x + √3)(x − √3) = 0  ⇒ x = √3 atau x = −√3
x + 1 = 0  ⇒ x = −1

Syarat :
x + 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ −1

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {−√3 ≤ x < −1 atau x ≥ √3}


Latihan 5
Tentukan HP dari $\frac{x+1}{x-2}\ge \frac{1}{x-1}$

Jawab :
⇔ $\frac{x+1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$ ≥ 0
⇔ $\frac{(x+1)(x-1)-(x-2)}{(x-2)(x-1)}$ ≥ 0
⇔ $\frac{x^2-1-x+2}{(x-2)(x-1)}$ ≥ 0
⇔ $\frac{x^2-x+1}{(x-2)(x-1)}$ ≥ 0

x² − x + 1 merupakan fungsi definit positif, sehingga dapat diabaikan tanpa harus mengubah atau membalik tanda pertidaksamaan.

Jadi pertidaksamaan diatas setara dengan
$\frac{1}{(x-2)(x-1)}$ ≥ 0

Pembuat nol :
(x − 2)(x − 1) = 0  ⇒ x = 2 atau x = 1

Syarat :
(x − 2)(x − 1) ≠ 0  ⇒ x ≠ 2 atau x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < 1 atau x > 2}


Latihan 6
Tentukan HP dari $\frac{4}{-x^2-4}\ge \frac{1}{x-1}$

Jawab :
⇔ $\frac{4}{-x^2-4}-\frac{1}{x-1}$ ≥ 0
⇔ $\frac{4(x-1)-(-x^2-4)}{(-x^2-4)(x-1)}$ ≥ 0
⇔ $\frac{4x-4+x^2+4}{(-x^2-4)(x-1)}$ ≥ 0
⇔ $\frac{x^2+4x}{(-x^2-4)(x-1)}$ ≥ 0
⇔ $\frac{x(x+4)}{(-x^2-4)(x-1)}$ ≥ 0

−x² − 4 merupakan fungsi definit negatif sehingga dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan diubah atau dibalik.

Jadi pertidaksamaan diatas setara dengan
$\frac{x(x+4)}{x-1}$ ≤ 0

Pembuat nol :
x(x + 4) = 0  ⇒ x = 0 atau x = −4
x − 1 = 0  ⇒ x = 1

Syarat :
x − 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda "≤" maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x ≤ −4 atau 0 ≤ x < 1}

sumber: https://smatika.blogspot.com/

Share this post